第1讲变化率与导数、导数的计算一、知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．[提醒]f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnx(x>0)f′(x)＝3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)′＝(g(x)≠0)．[提醒]求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axlna相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：′＝，(cosx)′＝sinx.常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．二、习题改编1．(选修11P85A组T5改编)已知函数f(x)＝2xf′(1)＋xlnx，则f′(1)＝()A．eB．1C．－1D．－e答案：C2．(选修11P85A组T6改编)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x解析：选D.因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，即y＝x.故选D.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、易错纠偏(1)混淆平均变化率与导数的区别；(2)导数的运算法则运用不正确．1．函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为，在x＝2处的导数为．解析：函数f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为＝3；因为f′(x)＝2x，所以f(x)在x＝2处的导数为2×2＝4.答案：342．函数y＝的导函数为．解析：y′＝＝.答案：y′＝导数的运算(多维探究)角度一求已知函数的导数求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋.【解】(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝′＝(lnx)′＋′＝－.[注意]求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．角度二求抽象函数的导数值已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)＝．【解析】因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所以f′(2)＝－.【答案】－对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．1．下列求导运算正确的是()A.′＝xB．(x2ex)′＝2x＋exC．(xcosx)′＝－sinxD．′＝1＋解析：选D.对于A：′＝－·(lnx)′＝－，对于B：(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，对于C：(xcosx)′＝cosx－xsinx，对于D：′＝1＋...
