第2节平面向量基本定理及坐标表示考试要求1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知识梳理1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝.4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.[微点提醒]1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a＝b，则x1＝x2且y1＝y2.2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.()(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.()解析(1)共线向量不可以作为基底.(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.(4)若b＝(0，0)，则＝无意义.答案(1)×(2)×(3)√(4)×2.(必修4P118A2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是()A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D.e1＝(2，－3)，e2＝解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.答案B3.(必修4P99例8改编)设P是线段P1P2上的一点，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为()A.(2，2)B.(3，－1)C.(2，2)或(3，－1)D.(2，2)或(3，1)解析由题意得P1P＝P1P2且P1P2＝(3，－3).设P(x，y)，则(x－1，y－3)＝(1，－1)，∴x＝2，y＝2，则点P(2，2).答案A4.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝()A.(－7，－4)B.(7，4)C.(－1，4)D.(1，4)解析根据题意得AB＝(3，1)，∴BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A.答案A5.(2017·山东卷)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝________.解析 a∥b，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3.答案－36.(2019·苏州月考)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.解析设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得答案(1，5)考点一平面向量基本定理及其应用【例1】(1)(2019·衡水中学调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若AB＝2AE，AD＝3AF，AM＝λAB－μAC(λ，μ∈R)，则μ－λ＝()A.－B.1C.D.－3(2)(2019·北京海淀区调研)在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且AD＝AB＋AC.延长AD交BC于E，若AE＝λAB＋μAC，则λ－μ的值是________.解析(1)AM＝λAB－μAC＝λAB－μ(AB＋AD)＝(λ－μ)AB－μAD＝2(λ－μ)AE－3μAF.因为E，M，F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴μ－λ＝－.(2)设AE＝xAD， AD＝AB＋AC，∴AE＝AB＋AC.由于E，B，C三点共线，∴＋＝1，x＝.根据平面向量基本定理，得λ＝，μ＝.因此λ－μ＝－＝－＝－.答案(1)A(2)－规律方法1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】(1)(2019·济南质检)在△ABC中，AN＝NC，若...
