第2讲空间位置关系的判断与证明[做小题——激活思维]1．设a，b，c表示不同的直线，α表示平面，下列命题中正确的是()A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若a⊥b，b⊥α，则a⊥αC．若a⊥c，b⊥c，则a∥bD．若a⊥α，b⊥α，则a∥bD[线面平行时要考虑线是否在平面内．]2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB[A中m与α的位置关系不能确定，故A错误； m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又 n∥β，∴α⊥β，故B正确；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故D错误．选B.]3．给出下列命题，其中错误命题的个数为()①若直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；②若直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；③若异面直线a，b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；④若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面．A．1B．2C．3D．4[答案]C4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论正确的是________．(填序号)①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.①②④[如图，因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形．故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正确．]5．在正四棱锥PABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为多少？[解]连接AC，BD交于点O，连接OE，OP.因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC中点，又因为E为PC中点，所以OE∥PA，且OE＝PA＝1，所以∠OEB(或其补角)是异面直线PA与BE所成的角．因为四棱锥PABCD为正四棱锥，O为正方形ABCD的中心，所以PO⊥平面ABCD，所以AO为PA在平面ABCD内的射影，所以∠PAO即为PA与平面ABCD所成的角，即∠PAO＝60°，因为PA＝2，所以OA＝OB＝1.因为PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，四边形ABCD为正方形，所以PO⊥BD，AC⊥BD，又因为PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC，因为OE⊂平面PAC，所以BD⊥OE，所以△BOE为直角三角形，因为OB＝OE＝1，所以∠OEB＝45°，即异面直线PA与BE所成的角为45°.[扣要点——查缺补漏]1．空间两直线位置关系的判定与证明(1)判定两直线相交的方法①证明两直线共面且不平行；②将待证两直线构造到同一平面几何图形中，利用平面几何图形性质判断．(2)判定两直线异面的方法①反证法；②利用结论：过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．2．空间线面位置关系的判定与证明(1)模型法判断线面关系：借助空间几何模型，如长方体、四面体等观察线面关系，再结合定理进行判断，如T3.(2)平行关系的基础是线线平行，比较常见的是利用三角形中位线构造平行关系，利用平行四边形构造平行关系．如T4.(3)证明线线垂直的常用方法①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；②利用勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质．3．空间角(1)对于两条异面直线所成的角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置．(2)直线和平面所成的角的求解关键是找出或作出过斜线上一点的平面的垂线，得到斜线在平面内的射影．如T5.空间线面位置关系的判断(5年3考)[高考解读]以正方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系，是《课程标准》关于立体几何教学内容设计的基本特点.近几年高考题的设计就体现了这种特点，以正方体为载体，考生可以通过直观感知，操作确认形成问题的结论.1．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线切入点：N为正方形ABCD的...
