第1讲等差数列、等比数列[做小题——激活思维]1．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8等于()A．45B．75C．180D．300[答案]C2．已知数列{an}为等比数列，若a4＝7，a6＝21，则a8等于()A．35B．63C．21D．±21[答案]B3．已知数列{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a7等于()A.B.C．7D．9[答案]A4．已知数列{an}为等差数列，若a5＝11，a8＝5，则an＝________.[答案]－2n＋215．设首项为1，公比为2的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an的关系可表示为________．[答案]Sn＝2an－1[扣要点——查缺补漏]1．等差数列的通项及前n项和公式(1)an＝a1＋(n－1)d.如T4.(2)Sn＝na1＋d＝.如T3.2．等比数列的通项及前n项和公式(1)an＝a1qn－1(q≠0)．(2)Sn＝如T5.3．等差、等比数列的性质(1)在等差数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，如T1.(2)若{an}是等差数列，则也是等差数列．(3)在等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列．(4)在等比数列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq，如T2.(5)在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列(n为偶数且q＝－1除外)．4．判断等差(比)数列的常用方法(1)定义法：若an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数，则{an}为等差(比)数列；(2)中项公式法；(3)通项公式法．等差、等比数列的基本运算(5年13考)[高考解读]高考重点考查等差数列、等比数列的通项及前n项和公式的应用，属每年必考内容.1．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝()A．16B．8C．4D．2切入点：S4＝15，a5＝3a3＋4a1.关键点：正确求出首项a1和公比q.C[由题意知解得∴a3＝a1q2＝4.故选C.]2．[一题多解](2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝()A．－12B．－10C．10D．12切入点：将3S3＝S2＋S4利用a1和d表示．关键点：利用已知条件正确求出公差d.B[法一：设等差数列{an}的公差为d， 3S3＝S2＋S4，∴3＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1， a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.法二：设等差数列{an}的公差为d， 3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋d＝d. a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]3．(2019·全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．切入点：{an}为各项均为正数的等比数列，an＞0，a1＝2，a3＝2a2＋16.关键点：正确求出公比q，进而正确求出{bn}的通项．[解](1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.[教师备选题](2016·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和．[解](1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.(2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－.等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略1求通项.求出等比数列的两个基本量a1和q后，通项便可求出.2求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.3求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程组求解.4求前n项和.直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解.易错提醒：解方程时，注意对根的检验.求解等比数列的公比时，要结合题意进行讨论、取值，避免错解.1．(等差数列的基本运算)[一题多解]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若6a3＋2a4－3a2＝5，则S7＝()A．28B．21C．14D．7D[法一：设等差数列{an}的公差为d，由6a3＋2a4－3a2＝5，得6(a1＋2d)＋2(a1＋3d)－3(a1＋d)＝5a1＋15d＝5(a1＋3d)＝5，即5a4＝5，所以a4＝1，所以S7＝＝＝7a4＝...
