第6讲空间向量及运算[考纲解读]1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义．2.能应用空间两点间的距离公式，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，并能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是空间立体几何的基础，一般不单独命题．预测2020年会与多面体相结合进行考查，题型为解答题，解题时利用空间向量法解决问题，试题难度不会太大，属中档题型.1．空间两点间的距离公式、中点公式(1)距离公式①设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝□.②设点P(x，y，z)，则与坐标原点O之间的距离为|OP|＝□.(2)中点公式设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则□.2．空间向量的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．3．空间向量的坐标运算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)(a，b均为非零向量)：1．概念辨析(1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同．()(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．()(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．()(4)对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小题热身(1)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是()A．－a＋b＋cB．a＋b＋cC．－a－b＋cD．a－b＋c答案A解析由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.故选A.(2)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()A．a，a＋b，a－bB．b，a＋b，a－bC．c，a＋b，a－bD．a＋b，a－b，a＋2b答案C解析A，B，D中三组向量都是共面向量，不能构成基底，c，a＋b，a－b不共面可以构成基底．(3)已知向量a＝(2，－3,5)，b＝，且a∥b，则λ等于________．答案－解析因为a∥b，所以＝＝，所以λ＝－.(4)已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．答案－解析cos〈a，b〉＝＝－.题型空间向量的线性运算如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1.解(1) P是C1D1的中点，∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1＝a＋c＋AB＝a＋c＋b.(2) N是BC的中点，∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋BC＝－a＋b＋AD＝－a＋b＋c.(3) M是AA1的中点，∴MP＝MA＋AP＝A1A＋AP＝－a＋a＋c＋b＝a＋b＋c，又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1＝AD＋AA1＝c＋a.∴MP＋NC1＝＋＝a＋b＋c.条件探究在举例说明条件下，若AE＝EC，A1F＝2FD，试用a，b，c表示EF.解如图，连接AF，则EF＝EA＋AF.由已知四边形ABCD是平行四边形，故AC＝AB＋AD＝b＋c，A1D＝A1A＋AD＝－a＋c.又EA＝－AC＝－(b＋c)，由已知A1F＝2FD，所以AF＝AD＋DF＝AD－FD＝AD－A1D＝c－(c－a)＝(a＋2c)，所以EF＝EA＋AF＝－(b＋c)＋(a＋2c)＝(a－b＋c)．用已知向量表示某一向量的注意事项(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解和运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义．向量加法的多边形法则对空间向量仍然成立．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．提醒：灵活运用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．1．如图所示，在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示)．答案a＋b＋c解析因为D为BC的中点，所以OD＝(OB＋OC)＝(b＋c)，又因为E为AD的中点，所以OE＝(OA＋OD)＝＝a＋b＋c.2．如图所示，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，点M在线段PC上，点N在线段PD上，且PM＝2MC，PN＝ND，若MN＝xAB＋yAD＋zAP，则x＋y＋z＝________.答案－解析MN＝PN－PM＝PD－PC＝(AD－AP)－(P...
