9．8用空间向量求角和距离一、明确复习目标1．了解空间向量的概念；会建立坐标系，并用坐标来表示向量；2．理解空间向量的坐标运算；会用向量工具求空间的角和距离.二．建构知识网络1．求角：（1）直线和直线所成的角：求二直线上的向量的夹角或补角；（2）直线和平面所成的角：①找出射影，求线线角；②求出平面的法向量，直线的方向向量，设线面角为θ,则.（3）二面角：①求平面角，或求分别在两个面内与棱垂直的两个向量的夹角（或补角）；②求两个法向量的夹角（或补角）.2．求距离（1）点M到面的距离（如图）就是斜线段MN在法向量方向上的正投影.由得距离公式：（2）线面距离、面面距离都是求一点到平面的距离；（3）异面直线的距离：求出与二直线都垂直的法向量和连接两异面直线上两点的向量，再代上面距离公式._a_nNMHθ1三、双基题目练练手1．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（）①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z）②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z）③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z）④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z）A.3B.2C.1D.02．直三棱柱A1B1C1—ABC，∠BCA=90°，D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B.C．D．3．已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k=___4．已知A（3，2，1）、B（1，0，4），则线段AB的中点坐标和长度分别是，.◆答案提示：1.C；2.A；3.；4.（2，1，），dAB=新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆四、以典例题做一做【例1】(2005江西)如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（２）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为不与y轴垂直,可设，则2也即，得，从而，∴点E到平面AD1C的距离:（3）设平面D1EC的法向量，由依题意∴（不合，舍去），.∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为【例2】（2005全国）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.（Ⅰ）证明：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，3又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD（Ⅱ）解：因由此得AC与PB所成的角为（Ⅲ）解：设平面ACM的法向量为，由得：设平面BCM的法向量为同上得∴结合图形可得二面角A-MC-B为解法2：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使要使NMBA_DCyxPz4为所求二面角的平面角.【例3】如图，AF新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆DE分别是⊙O新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆⊙O1的直径新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆(Ⅰ)求直线BD与EF所成的角；(Ⅱ)求异面直线...
