华东师范大学2003年数学分析试题及解答Tangshan0315一、（30分）简答题（只需写出正确答案）：⑴⑵⑶⑷⑸⑹二、（20分）判别题（正确的说明理由，错误的举出反例）；⑴若。错；例如，但。⑵若在上可导，且有界，则在上一致连续.对设⑶若在上可积，在可导，则。错；例如在[-1，1]上可积，并且⑷若收敛，且则收敛。对；设的部分和分别为与，则三、（17分）求极限：指出的间断点，并判断间断点的类型。解：===。由于，不存在，因此为的可去间断点，为的第二类间断点。四、（17分）设在[0，a]上连续，.证明其中.证明：由下式出发：在上取定积分，即得。五、（17分）若函数在上对连续，且存在，对，证明在上连续。证明：有：++。因为关于在连续，故，当时；又当时，现取，且当时，使得。故在上任一点连续。六、（17分）求下列积分，其中，。证明：记。因为上，而在S\上,故有=。又因为在xy平面上的投影区域为，有的方程，又有，所以可求得：，令=，（令）===。七、（17分）设，Rx。证明：⑴；⑵。证明：⑴把欲证明的等式经移项后写为：。只要把此式左边的分母乘至右边，经整理后可得，主要过程如下：其中，把它带入上式后，化简可得。⑵利用一的结果：由以上等式又有：，容易看出左边的分子是分母对r求导的结果。所以先通过两边对r求积分，得到：，即。再对X在上求积分，又得证毕。八、（15分）设，证明：收敛。证明：由于时，故时。估计：=其中正常数B或者是，或者是。由此又得：所以根据Cauchy准则，为收敛数列。
