第4讲二次函数与幂函数[考纲解读]1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质，能利用二次函数、二次方程与二次不等式之间的关系解决简单问题．(重点、难点)2.掌握幂函数的图象和性质，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况．(重点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容．预测2020年高考对二次函数可能会直接考查，也可能会与其他知识相结合进行考查，考查三个二次之间的关系、函数最值的求解、图象的判断等．在解答题中也可能会涉及二次函数．幂函数的考查常与其他知识结合，比较大小、图象及性质的应用为重点命题方向.1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝□ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝□a(x－m)2＋n(a≠0)．③两根式：f(x)＝□a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域RR续表2．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如□y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质1．概念辨析(1)函数y＝2x是幂函数．()(2)当α<0时，幂函数y＝xα是定义域上的减函数．()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．()(4)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)若a<0，则0.5a,5a,0.2a的大小关系是()A．0.2a<5a<0.5aB．5a<0.5a<0.2aC．0.5a<0.2a<5aD．5a<0.2a<0.5a答案B解析因为a<0，所以函数y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，又因为0.2<0.5<5，所以0.2a>0.5a>5a，即5a<0.5a<0.2a.(2)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则函数的解析式为________．答案f(x)＝x解析设f(x)＝xα，因为函数f(x)的图象过点(2，)，所以＝2α，即2＝2α，所以α＝，所以f(x)＝x.(3)若二次函数y＝－2x2－4x＋t的图象的顶点在x轴上，则t的值是________．答案－2解析y＝－2x2－4x＋t＝－2(x2＋2x)＋t＝－2[(x＋1)2－1]＋t＝－2(x＋1)2＋2＋t.因为此函数的图象的顶点(－1,2＋t)在x轴上，所以2＋t＝0，所以t＝－2.(4)函数f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤3)的值域是________．答案[－3,1]解析因为f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以f(x)在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，又因为f(0)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－3，所以函数f(x)的值域为[－3,1]．题型幂函数的图象与性质1．已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3)，则f(2)－f(1)＝()A．3B．1－C.－1D．1答案C解析设f(x)＝xα，因为函数f(x)的图象经过点(9,3)，所以3＝9α，解得α＝.所以f(x)＝x.所以f(2)－f(1)＝－1.2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A．d>c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c答案B解析观察图象联想y＝x2，y＝x，y＝x－1在第一象限内的图象，可知c<0，d<0,0
2d，所以c>d.综上知a>b>c>d.3．若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是()A.B.C．(－1,2)D.答案D解析因为函数y＝x在[0，＋∞)是增函数，且(2m＋1)>(m2＋m－1)，所以解得≤m<2.1．求幂函数的解析式幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2．幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0,1时，幂函数y＝xα在第一象限内的图象特征：α取值α>10<α<1α<0图象特殊点过点(0,0)，(1,1)过点(0,0)，(1,1)过点(1,1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y＝x2y＝xy＝x－1，y＝x－3．幂函数单调性的应用在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．1．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2＋m－1)·x－5m－3为减函数，则实数m的值为()A．－2B．1C．1或－2D．m≠答案B解析由题意得解得m＝1.2．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝3，c＝25，则()A．b
