第九章不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>ba-b>0；（2）a>b,b>ca>c；（3）a>ba+c>b+c；（4）a>b,c>0ac>bc；（5）a>b,c<0ac
b>0,c>d>0ac>bd;（7）a>b>0,n∈N+an>bn;（8）a>b>0,n∈N+;（9）a>0,|x|ax>a或x<-a;（10）a,b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;（11）a,b∈R，则(a-b)2≥0a2+b2≥2ab;（12）x,y,z∈R+，则x+y≥2,x+y+zw.w.w.前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。（6）因为a>b>0,c>d>0，所以ac>bc,bc>bd，所以ac>bd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即a≤b，与a>b矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-2≥0，所以x+y≥，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令，因为x3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥，等号当且仅当x=y=z时成立。二、方法与例题1．不等式证明的基本方法。（1）比较法，在证明A>B或A0）与1比较大小，最后得出结论。例1设a,b,c∈R+，试证：对任意实数x,y,z,有x2+y2+z2例2若a(n+1)n.（4）反证法。例6设实数a0,a1,…,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0,a1-2a2+a3≥0,…,an-2-2an-1+an≥0，求证ak≤0(k=1,2,…,n-1).（5）分类讨论法。例7已知x,y,z∈R+，求证：（6）放缩法，即要证A>B，可证A>C1,C1≥C2,…,Cn-1≥Cn,Cn>B(n∈N+).例8求证：例9已知a,b,c是△ABC的三条边长，m>0，求证：用心爱心专心（7）引入参变量法。例10已知x,y∈R+,l,a,b为待定正数，求f(x,y)=的最小值。例11设x1≥x2≥x3≥x4≥2,x2+x3+x4≥x1，求证：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.（8）局部不等式。例12已知x,y,z∈R+，且x2+y2+z2=1，求证：例13已知0≤a,b,c≤1，求证：≤2。（9）利用函数的思想。例14已知非负实数a,b,c满足ab+bc+ca=1，求f(a,b,c)=的最小值。2．几个常用的不等式。（1）柯西不等式：若ai∈R,bi∈R,i=1,2,…,n，则用心爱心专心等号当且仅当存在λ∈R，使得对任意i=1,2,,n,ai=λbi,变式1：若ai∈R,bi∈R,i=1,2,…,n，则等号成立条件为ai=λbi,(i=1,2,…,n)。变式2：设ai,bi同号且不为0(i=1,2,…,n)，则等号成立当且仅当b1=b2=…=bn.（2）平均值不等式：设a1,a2,…,an∈R+，记Hn=,Gn=,An=，则Hn≤Gn≤An≤Qn.即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。其中等号成立的条件均为a1=a2=…=an.【证明】由柯西不等式得An≤Qn，再由Gn≤An可得Hn≤Gn，以下仅证Gn≤An.1）当n=2时，显然成立；2）设n=k时有Gk≤Ak，当n=k+1时，记=Gk+1.因为a1+a2+…+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥≥2kGk+1,所以a1+a2+…+ak+1≥(k+1)Gk+1，即Ak+1≥Gk+1.所以由数学归纳法，结论成立。（3）排序不等式：若两组实数a1≤a2≤…≤an且b1≤b2≤…≤bn，则对于b1,b2,…,bn的任意排列，有a1bn+a2bn-1+…+anb1≤≤a1b1+a2b2+…+anbn.【证明】引理：记A0=0，Ak=，则=（阿贝尔求和法）。证法一：因为b1≤b2≤…≤bn，所以≥b1+b2+…+bk.用心爱心专心记sk=-(b1+b2+…+bk)，则sk≥0(k=1,2,…,n)。所以-(a1b1+a2b2+…+anbn)=+snan≤0.最后一个不等式的理由是aj-aj+1≤0(j=1,2,…,n-1,sn=0),所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。证法二：（调整法）考察，若，则存在。若(j≤n-1)，则将与互换。因为≥0，所调整后，和是不减的，接下来若，则继续同样的调整。至多经n-1次调整就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减...
