第2课时圆锥曲线中的定值、定点与存在性问题圆锥曲线中的定值问题(师生共研)(2018·高考北京卷)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2)．过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N
(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：＋为定值．【解】(1)因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，所以2p＝4，即p＝2
故抛物线C的方程为y2＝4x
由题意知，直线l的斜率存在且不为0
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0
依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得kb>0)的上顶点为P，右顶点为Q，直线PQ与圆x2＋y2＝相切于点M
(1)求椭圆C的方程；(2)若不经过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，且PA·PB＝0，求证：直线l过定点．【解】(1)由已知得直线OM(O为坐标原点)的斜率kOM＝2，则直线PQ的斜率kPQ＝－＝－，所以直线PQ的方程为y－＝－，即x＋2y＝2
可求得P(0，1)，Q(2，0)，故a＝2，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1
(2)证明：当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋n(n≠1)，联立消去y整理得(4k2＋1)x2＋8knx＋4(n2－1)＝0，Δ＝(8kn)2－4×4(4k2＋1)(n2－1)＝16(4k2＋1－n2)>0，得4k2＋1>n2
①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝
②由PA·PB＝0，得(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝0，又y1＝kx1＋n，y2＝kx2＋n，所以(k2＋1)x1x2＋k(n－1)(x1＋x2)＋(n－1)2＝0，③由②③得n＝1(舍)，或n＝－，满足①
此时l的方程为y＝kx－，故直
