第二课时“导数与函数的零点问题”考法面面观[考法一函数零点个数问题]题型·策略(一)讨论函数的零点个数已知f(x)＝e－x(ax2＋x＋1)．当a>0时，试讨论方程f(x)＝1的解的个数．[破题思路]求什么想什么讨论方程f(x)＝1的解的个数，想到f(x)－1的零点个数给什么用什么给出f(x)的解析式，用f(x)＝1构造函数，转化为零点问题求解(或分离参数，结合图象求解)[规范解答]法一：分类讨论法(学生用书不提供解题过程)方程f(x)＝1的解的个数即为函数h(x)＝ex－ax2－x－1(a>0)的零点个数．而h′(x)＝ex－2ax－1，设H(x)＝ex－2ax－1，则H′(x)＝ex－2a.令H′(x)>0，解得x>ln2a；令H′(x)<0，解得x
0)，则g′(m)＝1－(1＋lnm)＝－lnm，令g′(m)<0，得m>1；令g′(m)>0，得0时，ln2a>0，h′(x)min＝h′(ln2a)<0，又h′(x)在(－∞，ln2a)上单调递减，在(ln2a，＋∞)上单调递增，又h′(0)＝0，则存在x1>0使得h′(x1)＝0，这时h(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增．所以h(x1)h(0)＝0，h(0)＝0，所以此时f(x)有两个零点．综上，当a＝时，方程f(x)＝1只有一个解；当a≠且a>0时，方程f(x)＝1有两个解．法二：分离参数法(学生用书提供解题过程)方程f(x)＝1的解的个数即方程ex－ax2－x－1＝0(a>0)的解的个数，方程可化为ax2＝ex－x－1.当x＝0时，方程为0＝e0－0－1，显然成立，所以x＝0为方程的解．1当x≠0时，分离参数可得a＝(x≠0)．设函数p(x)＝(x≠0)，则p′(x)＝＝.记q(x)＝ex(x－2)＋x＋2，则q′(x)＝ex(x－1)＋1.记t(x)＝q′(x)＝ex(x－1)＋1，则t′(x)＝xex.显然当x<0时，t′(x)<0，函数t(x)单调递减；当x>0时，t′(x)>0，函数t(x)单调递增．所以t(x)>t(0)＝e0(0－1)＋1＝0，即q′(x)>0，所以函数q(x)单调递增．而q(0)＝e0(0－2)＋0＋2＝0，所以当x<0时，q(x)<0，即p′(x)>0，函数p(x)单调递增；当x>0时，q(x)>0，即p′(x)>0，函数p(x)单调递增．而当x→0时，p(x)→x→0＝x→0＝x→0＝x→0＝(洛必达法则)，当x→－∞时，p(x)→x→－∞＝x→－∞＝0，故函数p(x)的图象如图所示．作出直线y＝a.显然，当a＝时，直线y＝a与函数p(x)的图象无交点，即方程ex－ax2－x－1＝0只有一个解x＝0；当a≠且a>0时，直线y＝a与函数p(x)的图象有一个交点(x0，a)，即方程ex－ax2－x－1＝0有两个解x＝0或x＝x0.综上，当a＝时，方程f(x)＝1只有一个解；当a≠且a>0时，方程f(x)＝1有两个解．[注]部分题型利用分离法处理时，会出现“”型的代数式，这是大学数学中的不定式问题，解决这类问题有效的方法就是洛必达法则．法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limf(x)＝0及limg(x)＝0；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)lim＝l.那么lim＝lim＝l.法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limf(x)＝∞及limg(x)＝∞；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)lim＝l.那么lim＝lim＝l.[题后悟通]思路受阻分析构造函数后，正确进行分类讨论是解决本题的关键；不知道分类讨论或分类讨论时，分类不明或分类不全是解决此类问题常犯的错误技法判断函数零点个数的思路2关键点拨判断函数在某区间[a，b]((a，b))内的零点的个数时，主要思路为：一是由f(a)f(b)<0及零点存在性定理，说明在此区间上至少有一个零点；二是求导，判断函数在区间(a，b)上的单调性，若函数在该区间上单调递增或递减，则...
