第二课时“导数与函数的零点问题”考法面面观[考法一函数零点个数问题]题型·策略(一)讨论函数的零点个数已知f(x)＝e－x(ax2＋x＋1)．当a>0时，试讨论方程f(x)＝1的解的个数．[破题思路]求什么想什么讨论方程f(x)＝1的解的个数，想到f(x)－1的零点个数给什么用什么给出f(x)的解析式，用f(x)＝1构造函数，转化为零点问题求解(或分离参数，结合图象求解)[规范解答]法一：分类讨论法(学生用书不提供解题过程)方程f(x)＝1的解的个数即为函数h(x)＝ex－ax2－x－1(a>0)的零点个数．而h′(x)＝ex－2ax－1，设H(x)＝ex－2ax－1，则H′(x)＝ex－2a
令H′(x)>0，解得x>ln2a；令H′(x)0，得00，h′(x)min＝h′(ln2a)0使得h′(x1)＝0，这时h(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增．所以h(x1)0，即p′(x)>0，函数p(x)单调递增．而当x→0时，p(x)→x→0＝x→0＝x→0＝x→0＝(洛必达法则)，当x→－∞时，p(x)→x→－∞＝x→－∞＝0，故函数p(x)的图象如图所示．作出直线y＝a
显然，当a＝时，直线y＝a与函数p(x)的图象无交点，即方程ex－ax2－x－1＝0只有一个解x＝0；当a≠且a>0时，直线y＝a与函数p(x)的图象有一个交点(x0，a)，即方程ex－ax2－x－1＝0有两个解x＝0或x＝x0
综上，当a＝时，方程f(x)＝1只有一个解；当a≠且a>0时，方程f(x)＝1有两个解．[注]部分题型利用分离法处理时，会出现“”型的代数式，这是大学数学中的不定式问题，解决这类问题有效的方法就是洛必达法则．法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limf(x)＝0及limg(x)＝0；(2)在点a的去心邻域内，f(x)与
