华东理工大学2005–2006学年第二学期《概率论与数理统计》课程期末考试试卷B2006.06开课学院：理学院，专业：大面积，考试形式：闭卷，所需时间：120分钟考生姓名：学号：班级任课教师题序一二三四五六七八总分得分评卷人一、填空题（每题5分，共20分）（1）设P(A)=0.5,P()=0.75,a）若A与B独立，则P(B)＝0.5；b).若A与B不相容，则P(B)＝0.25。（2）设为总体的样本，，则它们分别服从和分布。（3）设随机变量相互独立，且。记，则＝。（4）设随机变量的密度函数为：且，则：的值分别等于：1和2。二、选择题（每题5分，共20分）（1）设A,B是任意两个概率不是零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（D）。（A）；（B）；（C）P(AB)=P(A)P(B)；（D）。1（2）设随机变量相互独立，且；，则（A）。（A）14.8；（B）4；（C）12.4；（D）其它。（3）设随机变量X，Y相互独立，服从相同的两点分布：，则下列结论中肯定正确的是（C）：（A）X=Y；（B）P(X=Y)=0；（C）P(X=Y)=；（D）P(X=Y)=1。（4）设服从二维正态分布，则随机变量独立的充要条件为（B）：（A）；（B）；（C）；（D）。三、（共10分）袋中有5个白球，3个红球，甲先从袋中随机取出一球后，乙再从中随机取出一球。（1）试求“乙取出的是白球”的概率；（2）若已知“乙取出的是白球”，计算“甲取到红球”的条件概率。解：（1）设A＝{甲取出的是白球}；B＝{乙取出的是白球}；则，由全概率公式（或抓阄模型），＝。（5分）（2）利用贝叶斯公式，得。（5分）四、（共12分）一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行过程中每个元件损坏的概率是0.10。又知为使系统正常运行，至少必需有85个元件工作。试用中心极限定理近似计算：（1）系统的可靠度（即正常运行的概率），2（2）若上述系统改由n个相互独立元件组成，而且又要求至少80％元件工作才能使整个系统正常运行，问n至少为多大时，才能保证系统的可靠度不低于0.95？（）解：设，（根据第i个元件是否工作，对应的分别取1或0）。显然，其中。由二项分布中心极限定理，。（4分）（1）此时，系统可靠度为：＝。（4分）（2）由于所以从，得到，即。（4分）五、（共8分）设随机变量的有关数字特征分别为：，试求：。解：＝＝24。六、（共10分）设令随机变量，试求：（1）的密度函数；（2）的数学期望。解：（1）由于为单调增加函数，其反函数，故当时，；（1分）3当时，，（4分）（2）。（5分）七、（共10分）某种产品在处理前与处理后分别抽样，分析其“含脂率”如下：处理前：0.19，0.18，0.21，0.30，0.41，0.12，0.27；处理后：0.15，0.13，0.07，0.24，0.19，0.06，0.08，0.12。假定处理前后的含脂率都服从正态分布，其标准差不变。取显著性水平＝0.05后，经过Excel软件计算得到下面的输出表格（其中变量1代表处理前的含脂率；变量2代表处理后的含脂率）。问：（1）表格中数字的含义，（2）检验它们的均值是否相等（＝0.05）？解：（1）”tStat”=T统计量的（观察）测试值，“P(T<=t)双尾”＝双侧检验时的P－值，“t双尾临界”＝双侧检验时的临界值，其它省略。（5分）（2）设它们的期望分别为：，令,采用双侧T检验。由于从表格可以看出，此时的P-值＝0.0190<0.05＝，这说明T统计量的（观察）测试值落入拒绝区域，从而拒绝原假设，即认为处理前后的均值不相等。（5分）4八、（共10分）设总体，随机抽样得到样本观察值：，今分别用，作为的估计值。（1）试分别写出的分布函数，（4分）（2）问它们是否分别为的无偏估计；（4分）（3）如果不是无偏估计，问应该如何把进行线性组合，使之成为的无偏估计。（2分）解：（1）由于，对应的分布函数为：，所以的分布函数分别为：，（2分）。（2分）（2）对应的数学期望分别为：，（2分）。（2分）所以它们都不是无偏估计。（3）令它们的线性组合分别为：。为使，必须有方程：5，从中解出：，所以，类似可得：。（2分）6
