第1讲导数的概念及运算基础知识整合1．导数的概念(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的□瞬时变化率，记作：y′|x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝lim.(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝□lim.2．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点□P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为□y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式(1)C′＝□0(C为常数)；(2)(xn)′＝□nxn－1(n∈Q*)；(3)(sinx)′＝□cosx；(4)(cosx)′＝□－sinx；(5)(ax)′＝□axln_a；(6)(ex)′＝□ex；(7)(logax)′＝；(8)(lnx)′＝□.4．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝□f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝□f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．特别地：[C·f(x)]′＝□Cf′(x)(C为常数)．(3)′＝□(g(x)≠0)．5．复合函数的导数设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f[φ(x)]在点x处也有导数y′x＝f′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同．2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．1．(2019·海南模拟)曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为()A．x－y－2＝0B．x＋y－2＝0C．x＋4y－5＝0D．x－4y－5＝0答案B解析y′＝＝－，当x＝1时，y′＝－1，所以切线方程是y－1＝－(x－1)，整理得x＋y－2＝0.故选B.2．函数f(x)＝x(2017＋lnx)，若f′(x0)＝2018，则x0的值为()A．e2B．1C．ln2D．e答案B解析f′(x)＝2017＋lnx＋x·＝2018＋lnx，故由f′(x0)＝2018，得2018＋lnx0＝2018，则lnx0＝0，解得x0＝1.故选B.3．若曲线y＝ex＋ax＋b在点(0,2)处的切线l与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a＋b＝()A．3B．－1C．1D．－3答案A1解析因为直线x＋3y＋1＝0的斜率为－，所以切线l的斜率为3，即y′|x＝0＝e0＋a＝1＋a＝3，所以a＝2；又曲线过点(0,2)，所以e0＋b＝2，解得b＝1.故选A.4．(2019·河北质检)已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k的值是()A．eB．－eC.D．－答案C解析依题意，设直线y＝kx与曲线y＝lnx切于点(x0，kx0)，则有由此得lnx0＝1，x0＝e，k＝.故选C.5．f(x)＝＋3x的图象在点(1，f(1))处的切线方程为________．答案x－y＋4＝0解析f′(x)＝－＋3，f′(1)＝1，即切线的斜率为1，又f(1)＝5，即切点坐标为(1,5)，故切线方程为y－5＝x－1，即x－y＋4＝0.6．(2019·郑州模拟)直线x－2y＋m＝0与曲线y＝相切，则切点的坐标为________．答案(1,1)解析 y＝＝x，∴y′＝x，令y′＝x＝，则x＝1，则y＝＝1，即切点坐标为(1,1)．核心考向突破考向一导数的基本运算例1求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝x；(3)y＝sin3x＋sin3x；(4)y＝.解(1)y′＝′＝＝－.(2)因为y＝x3＋＋1，所以y′＝3x2－.(3)y′＝(sin3x)′＋(sin3x)′＝3sin2xcosx＋3cos3x.(4)y′＝′＝[(2x－1)－3]′＝－3(2x－1)－4×2＝－6(2x－1)－4.触类旁通导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．2分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.即时训练1.求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝；(4)y＝.解(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4.(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y′＝[(1－2x)]′＝－(1－2x)×(－2)＝(1－2x).(4)y′＝＝＝.考向二导数的几何意义角度1求切线的方程例2(1)(2019·四川成都模拟)曲线y＝xsinx在点P(π，0)处的切线方程是()A．y＝－πx＋π2B．y＝πx＋π2C．y＝－πx－π2D．y＝πx－π22答案A解析因为y＝xsinx，所以y′＝sinx＋xcosx，在点P(π，0)处的切线斜率为k...
