工程数学作业之一解答1作业一：线性代数一．问答题1．叙述三阶行列式的定义。答：定义1：用个数组成的记号表示数值：称为三阶行列式，即：＝定义2：用个数组成的记号D＝表示数值：＋＋＋称为n阶行列式。2．叙述n阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系。答：定义：在n阶行列式D中划去所在的第i行和第j列的元素后，剩下的元素按原来相对位置所组成的（n－1）阶行列式，称为的余子式，记为，即2＝称为的代数余子式，记为，即＝3．叙述矩阵的秩的定义。答：定义：设A为mn矩阵。如果A中不为零的子式最高阶为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作（秩）＝r或R（A）＝r4．叙述对称阵、可逆矩阵的定义。答：定义1：满足条件的方阵称为对称阵。其特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。定义2：对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得AB＝BA=E，其中E为n阶单位阵，则称A为可逆阵，称B为A的逆矩阵。5．叙述矩阵的加法运算、数乘运算定义。答：定义1：设两个mn矩阵A＝，B＝则称mn矩阵为矩阵A与B的和，记作A＋B定义2：以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数k与矩阵A的积，记作kA，如果A＝，那么kA=,即kA=36．叙述向量组的线性相关和线性无关的定义。答：定义：设有向量组如果存在一组不全为零的数使得成立，则称向量组线性相关。否则，即仅当时，才有成立，则称向量组线性无关。7．齐次线性方程组的基础解系是什么？答：定义：设T是的所有解的集合，若T中存在一组非零解满足（1）线性无关；（2）任意，都可用线性表出则称是此方程组的一个基础解系8．试述克莱姆法则的内容。答：克莱姆法则：如果线性方程组的系数构成的行列式D,则此线性方程组有唯一解：其中，是将系数行列式D中第j列元素对应地换为常数项得到的行列式4二．填空题（共8题，每题4分，共计32分）1．行列式4．2．若A是对称矩阵，则AATO。3．设＝，则18|A|．4．设均为3阶矩阵，且，则。5．设行列式，则D中元素的代数余子式=1131．6．n阶行列式中元素的代数余子式与余子式之间的关系是ijjiijMA)1(。7．设矩阵A中的r阶子式，且所有r+1阶子式（如果有的话）都为0，则。8．设，则。9．如果齐次线性方程组的系数行列式，那5么它有只有零解．10．齐次线性方程组总有0解；当它所含方程的个数小于未知量的个数时，它一定有非零解。11．用消元法解线性方程组bAX，其增广矩阵A经初等行变换后,化为阶梯阵，则(1)当s=0,时,bAX无解;(2)当s=0,t=0时,bAX有无穷多解;(3)当,t是任意实数时,bAX有唯一解.三．计算题1．计算行列式．解：原行列式可化为：＝)4()2(2xx＝2．计算行列式．6解：原行列式可化为：＝＝＝（）＝3．计算行列式．解：原行列式可化为：＝＝＝－2600＋1400－600＝-18004．设矩阵，求。解：＝＝＝075．已知行列式，写出元素的代数余子式，并求的值．解：＝546．设，，求。解：－＝＝7．求矩阵的秩。8解：→→→所以，矩阵的秩为28．解齐次线性方程组。解：对系数矩阵施以初等变换：A＝→→→→与原方程组同解的方程组为：所以：方程组的一般解为（其中，为自由未知量）99．试问取何值时，齐次线性方程组有非零解？解：系数行列式为：所以，当8时，该齐次线性方程组有非零解．10．解线性方程组。解：对增广矩阵施以初等行变换：所以，原方程组无解。11．解线性方程组。解：对增广矩阵施以初等行变换：10→→→→与原方程组同解的方程组为：所以：方程组的一般解为(是自由未知量);12．设矩阵，解矩阵方程。解：；11由于TBAX.则有四．应用题7．某工厂采用三种方法生产甲乙丙丁四种产品，各种方案生产每种产品的数量如下列矩阵所示：若甲乙丙丁四种产品的单位成本分别为10、12、8、15（万元），销售单位价格分别为15、16、14、17（万元），试用矩阵运算计算用何种方法进行生产获利最大？解：设单位成本矩阵，销售单价矩阵为，则单位利润矩阵为，从而获利矩阵为，于是可知，采用第二种方法进行生产，工厂获利最大。12
