第2讲导数与函数的单调性一、知识梳理函数的单调性与导数的关系条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)＞0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)<0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是常数函数常用结论理清三组关系(1)“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上为增(减)函数”的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒为零．(3)对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．二、习题改编1．(选修11P93练习T1改编)函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为()A．(0，1)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案：A2．(选修11P93练习T3改编)已知函数f(x)＝x3－ax2，其中参数a≥0.设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)·cosx－sinx，讨论g(x)的单调性．解：g′(x)＝f′(x)＋cosx－(x－a)sinx－cosx＝x(x－a)－(x－a)sinx＝(x－a)(x－sinx)，令h(x)＝x－sinx，则h′(x)＝1－cosx≥0，所以h(x)在R上单调递增，因为h(0)＝0，所以，当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0.①当a＝0时，g′(x)＝x(x－sinx)，当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增；所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．②当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sinx)，当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．综上，当a＝0时，g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>0时，g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()答案：(1)×(2)√二、易错纠偏(1)判断导数值的正负时忽视函数值域这一隐含条件；(2)讨论函数单调性时，分类标准有误．1．函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是()A．先增后减B．先减后增C．增函数D．减函数解析：选D.因为f′(x)＝－sinx－1<0.所以f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.2．已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)，讨论f(x)的单调性．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.若a≤0，则f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．利用导数判断(证明)函数的单调性(师生共研)(1)已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)()A．在(0，＋∞)上单调递增B．在(0，＋∞)上单调递减C．在上单调递增D．在上单调递减(2)(2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.讨论f(x)的单调性．【解】(1)选D.因为函数f(x)＝xlnx，定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x>0)，当f′(x)>0时，解得x>，即函数f(x)的单调递增区间为；当f′(x)<0时，解得0
0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减．若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f′(x)．(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号．(3)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数.[提醒]研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．已知函数f(x)＝(x－1)2－x＋lnx(a>0)，讨论f(x)的单调性．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a(x－1)－1＋＝，令f′(x)＝0，则x1＝1，x2＝，①若a＝1，则f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数；②若01，当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数，当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数；③若a>1，则0<<1，当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当x∈时...
