华中科技大学-微积分-极限习题课及答案VIP免费

例1求极限（1），解时，极限为1；时（充分大时，），原式。（2）解先求，所以原式=另法利用（3）解因为，即有当时，，由夹挤准则得，同理，故原极限为1。（4）解先求，原极限为。（5）.解原式（6）.解分子为~,原式.练习（1）（答案）（2）（答案）（3）（答案）（4）（答案）（5）（答案）（6）（提示和差化积，极限为0）（7）设，，求。（提示：令，则。）例2设，，求解考虑，分三个情形：（1）若，极限为0.（2）若，则，易得，故数列单调递减有下界，极限存在。对两边求极限得，从而。（3）时，同理求得。综上极限为0.例3设，且证明。分析问题中的递推公式互相关联，且平均值不等式（几何平均与算术平均）可用，考虑单调有界准则。证由于，且可知为单调增加数列，为单调减少数列，且故数列极限都存在，设极限分别为，对两边取极限得，故。注此题变化为：，且则。例4求下列函数的间断点并判断类型：（1）.（2）.解（1）无定义的点为整数.因为，所以是跳跃间断点；因为所以是可去间断点；时，是第二类间断点。思考：间断点将实轴分成子区间，函数在哪个子区间上有界？（2）无定义的点及.因为,故是的无穷间断点.又由于故是的跳跃间断点.例5设函数在闭区间上连续，。证明存在，使得。证令，，则由条件知在上连续，设其最小值与最大值为。则又直接计算得知故由连续函数的介值定理，在区间内必能取到值0。亦即存在，使得。同型练习题：设函数在闭区间上连续，。证明存在，使得。例6设函数在实轴上连续，且。证明，使。（用反证法）例7设在连续，且：，证明：时，是常数。证对任，.令，利用及连续性条件得，，即恒等于.同型练习题：设在连续，且，证明：是常数。例8设为常数，若不等式对所有成立,证明。例9设在内连续，且任给，有试证为线性函数，其中。证显然，，即为奇函数。又，，即。从而，故对有理数都有。任给，存在有理数数列，利用的连续性，得。注此题条件改为在处可导，且任给，有则证法改变为，记为，从而，由得。