高考数学二轮复习 第3部分 策略4 妙用8个二级结论巧解高考题教案 理-人教版高三全册数学教案VIP免费

策略4妙用8个二级结论巧解高考题奇函数的最值性质已知函数fx是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有fx＋f－x＝0.特别地，若奇函数fx在D上有最值，则fxmax＋fxmin＝0，且若0∈D，则f0＝0.【典例1】(1)已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为()A．－5B．－3C．－1D．5(2)(2019·郑州模拟)已知函数f(x)＝log3(x＋)＋在[－k，k]，(k>0)上的最大值与最小值分别为M和m，则M＋m＝()A．4B．2C．1D．0(1)C(2)B[(1)令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，所以F(x)为奇函数， x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5,∴F(x)＝h(x)－2≤3.又x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，F(－x)≤3⇒F(x)≥－3，∴h(x)≥－3＋2＝－1，故选C.(2)已知f(x)＝log3(x＋)＋，则f(－x)＝log3(－x＋)＋，则f(x)＋f(－x)＝2，函数f(x)在定义域内为非奇非偶函数，令g(x)＝f(x)－1，则g(x)＋g(－x)＝f(x)－1＋f(－x)－1＝0，则g(x)在定义域内为奇函数．设g(x)的最大值为t，则最小值为－t，则f(x)的最大值为M＝t＋1，最小值为m＝－t＋1，则M＋m＝2，故选B.]【链接高考1】(2012·新课标全国)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.2[显然函数f(x)的定义域为R，f(x)＝＝1＋，设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]抽象函数的周期性与对称性1．函数的周期性(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.2．函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数．(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．【典例2】(1)(2019·德州市高三联考)已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2019)＝()A．20192B．1C．0D．－1(2)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，g(x)＝(x－1)3＋1，若函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2019，y2019)，则∑(xi＋yi)＝________.(1)D(2)4038[(1)根据题意，函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数是周期为4的周期函数，则f(2019)＝f(－1＋2020)＝f(－1)，又由函数为奇函数，则f(－1)＝－f(1)＝－1，则f(2019)＝－1，故选D.(2)由g(x)＝(x－1)3＋1知g(x)＋g(2－x)＝2，得函数y＝g(x)的图象关于点(1,1)对称又函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，则函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点关于点(1,1)对称，则x1＋x2019＝x2＋x2018＝x3＋x2017＝…＝2x1010＝2，y1＋y2019＝y2＋y2018＝y3＋y2017＝…＝2y1010＝2，故x1＋x2＋…＋x2018＋x2019＝2019，y1＋y2＋…＋y2018＋y2018＝2019，即∑(xi＋yi)＝4038.]【链接高考2】(2014·大纲高考)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2B．－1C．0D．1D[由f(x＋2)是偶函数可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，又由f(x)是奇函数得f(－x＋2)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝1.]两个经典不等式1.对数形式：1－≤ln(x＋1)≤x(x>－1)，当且仅当x＝0时，等号成立．2．指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．【典例3】设函数f(x)＝1－e－x，证明：当x＞－1时，f(x)≥.[证明]当x＞－1时，f(x)≥当且仅当ex≥x＋1.令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1.当x≤0时g′(x)≤0，g(x)在(－∞，0]是减函数；当x≥0时g′(x)≥0，g(x)在[0，＋∞)是增函数．于是函数g(x)在x＝0处...