专题四导数的综合应用卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ2018利用导数的单调性证明不等式·T21(2)根据函数的极值求参数、不等式的证明·T21导数在不等式的证明、由函数的极值点求参数·T212017利用导数研究函数的零点问题·T21(2)函数的单调性、极值、零点问题、不等式的证明·T21由不等式恒成立求参数、不等式放缩·T212016函数的零点、不等式的证明·T21函数单调性的判断、不等式的证明及值域问题·T21函数的最值、不等式的证明·T21纵向把握趋势导数的综合问题是每年的必考内容且难度大．主要涉及函数的单调性、极值、零点、不等式的证明．预计2019年会考查用分类讨论研究函数的单调性以及函数的零点问题导数的综合问题是每年的必考内容，涉及函数的极值、最值、单调性、零点问题及不等式的证明，且近3年均考查了不等式的证明．预计2019年仍会考查不等式的证明，同时要重点关注会讨论函数的单调性及零点问题导数的综合问题是每年的必考内容，涉及函数的最值、零点、不等式的恒成立及不等式的证明问题，其中不等式的证明连续3年均有考查，应引起关注．预计2019年仍会考查不等式的证明，同时考查函数的最值或零点问题横向把握重点导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题，是高考的热点和难点．解答题的热点题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值；(2)利用导数证明不等式或探讨方程根；(3)利用导数求解参数的范围或值.第一课时“导数与不等式”考法面面观[考法一不等式的证明问题]题型·策略(一)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.[破题思路]第(1)问求什么求f(x)的单调区间与极值，想到求导函数f′(x)，然后利用不等式f1想什么′(x)>0及f′(x)<0求单调区间并确定极值给什么用什么已知条件给出f(x)的解析式，可直接用求导公式求导第(2)问求什么想什么证明ex>x2－2ax＋1(a>ln2－1，x>0)成立，想到证明ex－x2＋2ax－1>0成立给什么用什么通过对第(1)问的研究，求得f(x)＝ex－2x＋2a的单调性与极值，仔细观察，可发现(ex－x2＋2ax－1)′＝ex－2x＋2a差什么找什么需要研究函数g(x)＝ex－x2＋2ax－1的单调性或最值，利用导数研究即可[规范解答](1)由f(x)＝ex－2x＋2a(x∈R)，知f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln2.当xln2时，f′(x)>0，故函数f(x)在区间(ln2，＋∞)上单调递增．所以f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2－2ln2＋2a，无极大值．(2)证明：要证当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1，即证当a>ln2－1且x>0时，ex－x2＋2ax－1>0.设g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x≥0)．则g′(x)＝ex－2x＋2a，由(1)知g′(x)min＝g′(ln2)＝2－2ln2＋2a.又a>ln2－1，则g′(x)min>0.于是对∀x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增．于是对∀x>0，都有g(x)>g(0)＝0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.[题后悟通]思路受阻分析本题属于导数综合应用中较容易的问题，解决本题第(2)问时，易忽视与第(1)问的联系，导函数g′(x)＝ex－2x＋2a的单调性已证，可直接用，若意识不到这一点，再判断g′(x)的单调性，则造成解题过程繁琐，进而造成思维受阻或解题失误技法关键点拨利用单调性证明单变量不等式的方法一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可[对点训练]1．已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝λ(x2－1)(λ为常数)．(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处有相同的切线，求实数λ的值；(2)若λ＝，且x≥1，证明：f(x)≤g(x)．2解：(1)f′(x)＝lnx＋1，g′(x)＝2λx，则f′(1)＝1，从而g′(1)＝2λ＝1，即λ＝.(2)证明：设函数h(x)＝xlnx－(x2－1)，则h′(x)＝lnx＋1－x.设p(x)＝lnx＋1－x，从而p′(x)＝－1≤0...
