第3课时证明与探索性问题题型一证明问题例1设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝NM.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)．由NP＝NM得x0＝x，y0＝y.因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)．由OP·PQ＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1.又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.思维升华圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．跟踪训练1已知椭圆T：＋＝1(a>b>0)的一个顶点A(0,1)，离心率e＝，圆C：x2＋y2＝4，从圆C上任意一点P向椭圆T引两条切线PM，PN.(1)求椭圆T的方程；(2)求证：PM⊥PN.(1)解由题意可知b＝1，＝，即2a2＝3c2，又a2＝b2＋c2，联立解得a2＝3，b2＝1.∴椭圆方程为＋y2＝1.(2)证明①当P点横坐标为±时，纵坐标为±1，PM斜率不存在，PN斜率为0，PM⊥PN.②当P点横坐标不为±时，设P(x0，y0)，则x＋y＝4，设kPM＝k，PM的方程为y－y0＝k(x－x0)，联立方程组消去y得(1＋3k2)x2＋6k(y0－kx0)x＋3k2x－6kx0y0＋3y－3＝0，依题意Δ＝36k2(y0－kx0)2－4(1＋3k2)(3k2x－6kx0y0＋3y－3)＝0，化简得(3－x)k2＋2x0y0k＋1－y＝0，又kPM，kPN为方程的两根，所以kPM，PN＝，所以kPM·kPN＝＝＝＝－1.所以PM⊥PN.综上知PM⊥PN.题型二探索性问题例2(2018·苏北三市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在x轴上方)．(1)若QF＝2FP，求直线l的方程；(2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2.是否存在常数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)因为a2＝4，b2＝3，所以c＝＝1，所以F的坐标为(1,0)．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋1，代入椭圆方程，得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，则y1＝，y2＝.若QF＝2PF，则＝2×，即＝2×，3m＋6＝－6m＋12，解得m＝(舍负)，故直线l的方程为x－2y－＝0.(2)由(1)知，y1＋y2＝，y1y2＝，所以my1y2＝＝(y1＋y2)，所以＝·＝＝＝，故存在常数λ＝，使得k1＝k2.思维升华解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．跟踪训练2(2018·扬州期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋(y－2)2＝1，且圆C与y轴交于M，N两点(点N在点M的上方)，直线l：y＝kx(k>0)与圆C交于A，B两点．(1)若AB＝，求实数k的值；(2)设直线AM，直线BN的斜率分别为k1，k2，是否存在常数a使得k1＝ak2恒成立？若存在，求出a的值．若不存在，请说明理由；(3)若直线AM与直线BN相交于点P，求证：点P在一条定直线上．(1)解 圆C：x2＋(y－2)2＝1，∴圆心C(0,2)，半径r＝1， 直线l：kx－y＝0(k>0)与圆C相交于A，B两点，且AB＝，∴圆心到l的距离为d＝＝，∴＝，解得k＝±2. k>0，∴k＝2.(2)解 圆C与y轴交于M，N两点(点N在点M上方)，∴M(0,1)，N(0,3)，∴AM：y＝k1x＋1，BN：y＝k2x＋3，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AM与圆C方程联立得化简得(k＋1)x2－2k1x＝0，∴A，同理可求得B， O，A，B三点共线，且OA＝，OB＝，∴·－·＝0，化简得(3k1＋k2)(k1k2＋1)＝0， k1k2＋1≠0，∴3k1＋k2＝0，即k1＝－k2，∴存在实数a＝－，使得k1＝ak2恒成立．(3)证明设P(x0，y0)，∴且k1≠k2，∴由(2)知k2＝－3k1，代入得y0＝＝为定值．∴点P在定直线y＝上．1．(2018·苏州期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率...
