第4讲三角函数的图象与性质一、知识梳理1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x≠kπ＋，k∈Z}值域[－1，1][－1，1]R函数的最值最大值1，当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－，k∈Z最大值1，当且仅当x＝2kπ，k∈Z；最小值－1，当且仅当x＝2kπ－π，k∈Z无最大值和最小值单调性增区间[k·2π－，k·2π＋](k∈Z)；减区间[k·2π＋，k·2π＋](k∈Z)增区间[k·2π－π，k·2π](k∈Z)；减区间[k·2π，k·2π＋π](k∈Z)增区间(k·π－，k·π＋)(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π周期为2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为2π周期为kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期为π对称性对称中心(kπ，0)，k∈Z，k∈Z，k∈Z对称轴x＝kπ＋，k∈Zx＝kπ，k∈Z无对称轴零点kπ，k∈Zkπ＋，k∈Zkπ，k∈Z2.周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期均为T＝；函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期为T＝.常用结论1．函数y＝sinx与y＝cosx的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y＝cosx的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，而不是x＝2kπ(k∈Z)．2．对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数．二、习题改编1．(必修4P46A组T2，3改编)若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则()A．T＝π，A＝1B．T＝2π，A＝1C．T＝π，A＝2D．T＝2π，A＝2答案：A2．(必修4P45练习T3改编)函数y＝tan2x的定义域是()A.B.C.D.答案：D3．(必修4P38例3改编)函数y＝3－2cos的最大值为，此时x＝．答案：5＋2kπ(k∈Z)一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝cosx在第一、二象限内是减函数．()(2)若y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.()(3)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．()(4)函数y＝sinx图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．()(5)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×二、易错纠偏(1)忽视y＝Asinx(或y＝Acosx)中A对函数单调性的影响；(2)忽视正、余弦函数的有界性；(3)不注意正切函数的定义域．1．函数y＝1－2cosx的单调递减区间是．答案：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)2．函数y＝－cos2x＋3cosx－1的最大值为．答案：13．函数y＝cosxtanx的值域是答案：(－1，1)第1课时三角函数的图象与性质(一)三角函数的定义域(师生共研)(1)函数y＝的定义域为；(2)函数y＝的定义域为．【解析】(1)要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为.(2)要使函数有意义，则cosx－≥0，即cosx≥，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，所以函数的定义域为.【答案】(1)(2)三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tanx的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域．(2)转化为求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域．1．函数y＝lg(3tanx－)的定义域为．解析：要使函数y＝lg(3tanx－)有意义，则3tanx－>0，即tanx>.所以＋kπ
