第2讲解题常招，设参换元方法概述在解答数学问题时，我们常把某个代数式看成一个新的未知数，或将某些变元用另一参变量的表达式来替换，以便将所求的式子变形，优化思考对象，让原来不醒目的条件，或隐含的信息显露出来，促使问题的实质明朗化，使非标准型问题标准化，从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉，从中找出解题思路.这种通过换元改变式子形式来变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去考查、探究解题思路的做法，就是设参换元法，也就是我们常说的换元法应用题型此方法既适用选择题、填空题，也适用于解答题，多在研究方程、不等式、函数、三角、解析几何中广泛应用[例1]已知x，y∈R，满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为__________.[解析]法一：由x2＋2xy＋4y2＝6，得2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤，所以6－(x2＋4y2)≤，所以x2＋4y2≥4，当且仅当x＝2y时，取等号.又因为(x＋2y)2＝6＋2xy≥0，即2xy≥－6，所以z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12，综上可得4≤x2＋4y2≤12.法二：已知x2＋2xy＋4y2＝6，即(x＋y)2＋(y)2＝()2，故设x＋y＝cosα，y＝sinα，即x＝cosα－sinα，y＝sinα.则z＝x2＋4y2＝6－2xy＝6－2(cosα－sinα)·sinα＝8－4sin.所以8－4≤z≤8＋4，即z的取值范围为[4，12].[答案][4，12][例2]已知椭圆C的方程为＋y2＝1，且直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值.[解]圆O的圆心为坐标原点，半径r＝1，由直线l：y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0与圆O：x2＋y2＝1相切，得＝1，故有m2＝1＋k2.①由消去y得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝.②将①代入②，得|x1－x2|2＝，故|x1－x2|＝.所以|MN|＝|x1－x2|＝·＝.故△OMN的面积S＝|MN|×1＝.令t＝4k2＋1(t≥1)，则k2＝，代入上式，得S＝2·＝·＝·＝·，所以当t＝3，即4k2＋1＝3，解得k＝±时，S取得最大值，且最大值为×＝1.[应用体验]1.椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积为________.解析：已知＋＝1，则F(－1，0).设A(2cosθ，sinθ)，B(2cosθ，－sinθ)，则|AF|＝|BF|＝＝2＋cosθ，故△FAB的周长l＝2(2＋cosθ)＋2sinθ＝4＋4sin.当θ＝时，l取得最大值，此时△FAB的面积为S＝(1＋2cosθ)·2sinθ＝sinθ(1＋2cosθ)＝3.答案：32.不等式log2(2x－1)·log2(2x＋1－2)<2的解集是________.解析：设log2(2x－1)＝y，则log2(2x＋1－2)＝1＋log2(2x－1)＝y＋1，故原不等式可化为y(y＋1)<2，解得－2
