第2课时直线与椭圆直线与椭圆的位置关系(师生共研)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有且只有一个公共点；(2)没有公共点．【解】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(2)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．直线与椭圆位置关系判断的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程．(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程．(3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．不论k为何值，直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是()A．(0，1)B．(0，7)C．[1，7)D．(1，7]解析：选C.直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，由题意知(0，1)在椭圆＋＝1上或其内部，所以有≤1，得m≥1.又椭圆＋＝1的焦点在x轴上，所以m<7.综上，1≤m<7.弦长问题(师生共研)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且＝，求出直线l的方程．【解】设直线l的方程为y＝－x＋m，由题意知F1，F2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1，由题意知圆心(0，0)到直线l的距离d＝<1，得|m|<.|AB|＝2＝2＝×，联立得消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，由题意得Δ＝(－8m)2－4×7×(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0，解得m2<7，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，|CD|＝|x1－x2|＝×＝×＝×＝|AB|＝××，1解得m2＝<7，得m＝±.即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±.求直线与椭圆弦长的方法(1)若直线y＝kx＋m与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|；(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长的为2a.已知点A(－2，0)，B(0，1)在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，则椭圆C的方程为；若直线y＝x交椭圆C于M，N两点，则|MN|＝．解析：由题意可知，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点在x轴上，由点A(－2，0)，B(0，1)在椭圆上，则a＝2，b＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则消去y，整理得2x2＝4，则x1＝，x2＝－，y1＝，y2＝－，则|MN|＝＝.答案：＋y2＝1中点弦问题(师生共研)(一题多解)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D．＋＝1【解析】通解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得①－②得＋＝0，所以＋·＝0.因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，kAB＝＝，所以＋×＝0，即a2＝2b2.又c＝3＝，所以a2＝18，b2＝9.所以椭圆E的方程为＋＝1.优解：由题意可得解得a2＝18，b2＝9，所以椭圆E的方程为＋＝1.【答案】D中点弦的重要结论AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．(1)斜率：k＝－；(2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－.已知椭圆：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A．9x－y－4＝0B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋y－5＝0解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆＋x2＝1上，所以两式相减得＋x－x＝0，即＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被点P平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得＋x1－x2＝0，即＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－＝－9，即9x＋y2－5＝0.椭圆与向量的综合问题(师生共研)(1)已知点F1，F2是椭圆C：＋y2＝1的焦点，点M在椭圆C上且满足|MF1＋MF2|＝2，O为坐标原点，则△MF1F2的面积为()A.B.C．2D．1(2)(2020·石家庄质量检测(二))倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且AF＝2FB，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D．【解析】(1)|MF1＋MF2...
