第3讲函数的奇偶性与周期性[考纲解读]1.了解函数奇偶性的含义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点)3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(重点)[考向预测]从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点．预测2020年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有□f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于□y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有□f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于□原点对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有□f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个□最小的正数，那么这个□最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．概念辨析(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(2)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．()(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．()(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．()答案(1)√(2)√(3)√(4)√2．小题热身(1)下列函数中为奇函数的是()A．y＝x2sinxB．y＝x2cosxC．y＝|lnx|D．y＝2－x答案A解析A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数．(2)奇函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则()A．f(2)>0>f(4)B．f(2)<0f(4)>0D．f(2)0>f(－2)，所以－f(4)>0>－f(2)，即f(2)>0>f(4)．(3)若函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则该函数的最大值为________．答案5解析由函数f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，可得b＝0，且－1－a＋2a＝0，解得a＝1，所以函数f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2]，故该函数的最大值为5.(4)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.答案6解析因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以函数f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)，又因为当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，且f(x)是偶函数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.题型函数的奇偶性角度1判断函数的奇偶性1．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝(1－x)；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝解(1)由得x2＝3，解得x＝±，即函数f(x)的定义域为{－，}，∴f(x)＝＋＝0.∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)由≥0得－1≤x<1，所以f(x)的定义域为[－1,1)，所以函数f(x)是非奇非偶函数．(3)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.又 f(－x)＝＝＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．(4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．角度2奇函数、偶函数性质的应用2．(1)已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为________；(2)已知f(x)＝，若f(ln(＋a))＝1，则f(ln(－a))＝________；(3)(2018·河南南阳模拟)若函数f(x)＝x为偶函数，则a＝________.答案(1)－x3－x＋1(2)－3(3)1或－1解析(1)当x<0时，－x>0.因为f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，所以f(x)＝f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1.(2)f(x)＋f(－x)＝＋＝＝－2，而ln(＋a)＋ln(－a)＝ln1＝0，因此f(ln(＋a))＋f(ln(－a))＝－2，f(ln(－a))＝－2－1＝－3.(3)令u(x)＝1－，根据函数f(x)＝x为偶函数，可知u(x)＝1－为奇函数，利用u(0)＝1－＝0，可...
