第13讲变化率与导数、导数的计算考纲要求考情分析命题趋势1．了解导数概念的实际背景．2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数的导数．2017·全国卷Ⅰ，162017·全国卷Ⅱ，112016·全国卷Ⅲ，152016·北京卷，18(1)2016·山东卷，101．导数的概念及几何意义是命题热点，难度不大，经常与函数结合，通过求导研究函数的性质．2．导数几何意义的应用也是命题热点，难度较大，题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范围，以及与切线有关的计算、证明问题．分值：5～7分1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为！！！###，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数及几何意义(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim＝！！！lim###为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝lim＝lim.(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点__(x0，f(x0))__处的__切线的斜率__.相应地，切线方程为__y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)__.3．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝！！！lim###为f(x)的导函数，导函数也记作y′.4．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝__0__f(x)＝xn(n∈Q)f′(x)＝__nxn－1__f(x)＝sinxf′(x)＝__cos_x__f(x)＝cosxf′(x)＝__－sin_x__f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝__axln_a(a>0且a≠1)__f(x)＝exf′(x)＝__ex__f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝！！！(a>0，且a≠1)###f(x)＝lnxf′(x)＝！！！###5．导数的四则运算法则(1)(f(x)±g(x))′＝__f′(x)±g′(x)__；(2)(f(x)g(x))′＝__f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)__；(3)′＝！！！###(g(x)≠0)；(4)y＝f(g(x))是由y＝f(μ)，μ＝g(x)复合而成，则y′x＝y′μ·μ′x.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(×)(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(4)若f(x)＝f′(a)x2＋lnx(a>0)，则f′(x)＝2xf′(a)＋.(√)解析(1)错误．应先求f′(x)，再求f′(x0)．(2)正确．如y＝1是曲线y＝cosx的切线，但其交点个数有无数个．(3)错误．如y＝0与抛物线y2＝x只有一个公共点，但是y＝0不是抛物线y2＝x的切线．(4)正确．f′(x)＝(f′(a)x2＋lnx)′＝(f′(a)x2)′＋(lnx)′＝2xf′(a)＋.2．曲线y＝xlnx在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为(A)A．2B．－2C．D．－解析依题意得y′＝1＋lnx，y′|x＝e＝1＋lne＝2，所以－×2＝－1，a＝2.3．某质点的位移函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝10m/s2)，则当t＝2s时，它的加速度是(A)A．14m/s2B．4m/s2C．10m/s2D．－4m/s2解析由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．4．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为__2x－y＋1＝0__.解析 y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.∴该切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.5．函数y＝xcosx－sinx的导数为__y′＝－xsin_x__.解析y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.一导数的运算导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开，化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．【例1】求下列函数的导数．(1)y＝(1－)；(2)y＝；(3)y＝tanx；(4)y＝3xex－2x＋e.解析(1) y＝(1－)＝－＝x－－x，∴y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－＝－－.(2)y′＝′＝＝＝.(3)y′＝′＝＝＝.(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.【例...
