第21讲矩形、菱形和正方形1．(2016·无锡)下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(C)A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直2．(2015·重庆模拟)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB＝30°，AB＝2，则BD的长为(A)A．4B．3C．2D．13．(2016·台湾)如图，有一?ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数是(C)A．50°B．55°C．70°D．75°4．(2016·绥化)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形OCED的周长为(B)A．4B．8C．10D．125．(2016·枣庄)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于(A)A.245B.125C．5D．46．(2015·日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(B)A．①②B．②③C．①③D．②④7．(2016·龙东)如图，在?ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.请你添加一个条件答案不唯一，如：CD＝BE，使四边形DBCE是矩形．8．(2016·西宁)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是16．9．(2016·昆明)如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是24．10．(2016·青岛)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为3.5．11．(2016·广州)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AO＝BO.又∵AB＝AO，∴AB＝AO＝BO.∴△ABO为等边三角形．∴∠ABD＝60°.12．(2016·云南)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DBC＝12∠ABC.∴∠ABC＋∠BAD＝180°.又∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，∴∠ABC＝60°.∴∠DBC＝12∠ABC＝30°.∴tan∠DBC＝tan30°＝33.(2)证明：∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形OBEC是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°.∴四边形OBEC是矩形．13．(2016·贺州)如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若AB＝3，∠DCF＝30°，求四边形AECF的面积．(结果保留根号)解：(1)证明：∵点O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠AFO＝∠CEO.在△AOF和△COE中，∠AFO＝∠CEO，∠AOF＝∠COE，OA＝OC，∴△AOF≌△COE(AAS)．∴AF＝CE.∴AF＝CF＝CE＝AE.∴四边形AECF是菱形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3.在Rt△CDF中，cos∠DCF＝CDCF，∠DCF＝30°，∴CF＝CDcos30°＝2.∵四边形AECF是菱形，∴CE＝CF＝2.∴四边形AECF的面积为EC·AB＝23.14．(2016·菏泽)在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，当?ABCD的面积最大时，下列结论正确的有(B)①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④15．(2016·淄博)如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH的长为(B)A.835B．22C.145D．10－5516．(2016·南京)如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为13cm.17．(2015·凉山)菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P的坐标为(23－3，2－3)．18．(2016·株洲)如图，已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF、ED，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADC＝∠ABC＝90°.∴∠ADF＝∠ABE＝90°.在△ADF与△ABE中，AD＝AB，∠ADF＝∠ABE，DF＝BE，∴△ADF≌△ABE(SAS)．(2)在Rt△ABE中，∵AB＝BC＝3，BE＝1，∴AE＝10，ED＝CD2＋CE2＝5.∵S△AED＝12AD·BA＝12ED·AH，∴12×3×3＝12×5·AH.解得AH＝1.8.在Rt△AHE中，∵AE＝10，AH＝1.8，∴EH＝2.6.∴tan∠AED＝AHEH＝1.82.6＝913.19．(人教8下教材P67T1(3)变式)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为(C)A．45°B．55°C．60°D．75°
