4单摆名师导航知识梳理单摆（1）回复力是由___________提供的，方向指向____________.（2）周期T与____________、摆球的____________无关，但与____________有关，摆长越长，周期越______________.（3）单摆的等时性是____________首先发现的，周期公式是____________首先提出的.（4）摆球做简谐运动的回复力是重力在____________方向的分力.知识导学学习本节时，要通过观察生活中的摆动现象，对单摆有一个初步的认识，再结合实验现象，更深刻地理解单摆.同学们可以自己设计一个小实验，通过改变一些条件来研究单摆的性质，学会以科学实验为基础来分析、归纳物理规律，体会量变达到质变的哲学道理.疑难突破1.单摆振动的简谐性和周期性剖析：（1）在偏角很小的情况下（通常摆角θ<5°）回复力为摆球重力沿切线方向的分量mgsinθ，课本在讨论单摆小摆角振动时，采用了物理学中常用的近似方法，在摆角很小时，sinθ≈x/L，所以单摆的回复力F=-mgx/L=-kx，单摆做简谐运动.需要强调的是，在摆角较大的情况下，摆的回复力并不与位移成正比，所做的摆动不是简谐运动.（2）单摆周期公式T=2πgl是荷兰物理学家惠更斯在伽利略等时性基础上提出的，周期T与振幅、摆球质量无关，只与摆长l和所处地点重力加速度g有关，摆长l是指悬点到摆球球心间的距离.2.单摆运动中的等效问题剖析：（1）等效摆长，在图11-4-1中，三根等长的绳L1、L2、L3共同系住一密度均匀的小球m，球直径为d，L1、L2与天花板的夹角α＜30°.若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在O1处，故等效摆长为L3+d/2，周期T=2πgdL23；若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为L3+L2sinα+d/2，周期T2=2πgdLL2sin23.图11-4-11（2）等效重力加速度，公式中的g由单摆所在的空间位置决定.由2RMG=g知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g代入公式，即g不一定等于9.8m/s2.典题精讲【例1】如图11-4-2所示，三根细线于O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为L的两点上，使AOB成直角三角形，∠BAO=30°，已知OC线长是L，下端C点系着一个小球.下面说法中正确的是（)图11-4-2A.让小球在纸面内振动，周期T=2πgLB.让小球在垂直纸面方向振动，其周期T=2πgL23C.让小球在纸面内振动，周期T=2πgL23D.让小球在垂直纸面内振动，周期为T=2πgL思路解析：让小球在纸面内摆动，在摆角很小时，单摆以O点为悬点，摆长为L，周期为T=2πgL让小球在垂直纸面内摆动，摆球以OC的延长线与AB交点为中心摆，摆长为L+2Lcos30°=L+43L，周期T′为T′=2πg4)34(，选项A正确.答案：A绿色通道：此题是典型的等效摆长问题，要正确计算出公式T=2πgL中L的值.变式训练：有一天体半径为地球半径的2倍，平均密度与地球相同，在地球表面走时准确的摆钟移到该天体的表面，秒针走一圈的实际时间为（)2A.21minB.22minC.2minD.2min答案：B【例2】单摆的摆长不变，摆球质量变为原来的4倍，经过平衡位置时的速度变为原来的1/2，单摆的振幅是否发生改变？思路解析：对于同一个单摆而言，机械能越大，振幅也越大.由机械能守恒定律，摆球由最低点摆到最高点的过程中，动能转化为势能，即21mv2=mgh，则h=gv22，可见小球摆起的高度与质量无关，只和小球在最低点时的速度有关，依题意，速度变为原来的1/2，摆起的最大高度减小，因此振幅减小.答案：振幅减小黑色陷阱：本题的错误分析是：误认为单摆的机械能不变，而振幅又是表征振动能量的物理量，所以误认为振幅是不变的.变式训练：一单摆的振动周期是2s，则下列做简谐运动的情况下单摆的周期为（1）摆长缩短为原来的1/4时，T=____________s；（2）摆球质量减小为原来的1/4时，T=____________s；（3）振幅减小为原来的1/4时，T=____________s.答案：（1）1（2）2（3）33
