"《创新方案》届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题三第二讲高考中的数列(解答题型)（以年真题和模拟题为例，含答案解析）"1．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7…＋＋a3n－2.解：(1)设{an}的公差为d.由题意a＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7…＋＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.2．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．解：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.由已知可得解得a1＝1，d＝－1.故{an}的通项公式为an＝2－n.(2)由(1)知＝＝，从而数列的前n项和为＝.3．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝(an－1)，数列{bn}满足bn＝bn－1－(n≥2)，且b1＝3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝an·log2(bn＋1)，其前n项和为Tn，求Tn.解：(1)对于数列{an}有Sn＝(an－1)，①Sn－1＝(an－1－1)(n≥2)，②由①－②得an＝(an－an－1)，即an＝3an－1，n＝1时，由S1＝(a1－1)，得a1＝3，则an＝a1·qn－1＝3·3n－1＝3n.对于数列{bn}有bn＝bn－1－(n≥2)，可得bn＋1＝bn－1＋，即＝.bn＋1＝(b1＋1)n－1＝4×n－1＝42－n，即bn＝42－n－1.(2)由(1)可知cn＝an·log2(bn＋1)＝3n·log242－n＝3n·log224－2n＝3n(4－2n)．Tn＝2·31＋0·32＋(－2)·33…＋＋(4－2n)·3n，③3Tn＝2·32＋0·33…＋＋(6－2n)·3n＋(4－2n)·3n＋1，④由③－④得－2Tn＝2·3＋(－2)·32＋(－2)·33…＋＋(－2)·3n－(4－2n)·3n＋1＝6＋(－2)(32＋33…＋＋3n)－(4－2n)·3n＋1.则Tn＝－3＋＋(2－n)·3n＋1＝－＋·3n＋1.4．(·合肥模拟)各项为正数的数列{an}满足a＝4Sn－2an－1(n∈N*)，其中Sn为{an}前n项和．(1)求a1，a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)是否存在正整数m，n，使得向量a＝(2an＋2，m)与向量b＝(－an＋5,3＋an)垂直？请说明理由．解：(1)当n＝1时，a＝4S1－2a1－1，即(a1－1)2＝0，解得a1＝1，当n＝2时，a＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．(2)由a＝4Sn－2an－1，①得a＝4Sn＋1－2an＋1－1，②②－①得a－a＝4an＋1－2an＋1＋2an＝2(an＋1＋an)，即(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)，∵数列{an}各项均为正数，∴an＋1＋an>0，an＋1－an＝2，∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以an＝2n－1.(3)∵an＝2n－1，∴a＝(2an＋2，m)＝(2(2n＋3)，m)≠0，b＝(－an＋5,3＋an)＝(－(2n＋9)，2(n＋1))≠0.∴a·b＝0⇔m(n＋1)＝(2n＋3)(2n＋9)＝[2(n＋1)＋1]·[2(n＋1)＋7]⇔m(n＋1)＝4(n＋1)2＋16(n＋1)＋7⇔m＝4(n＋1)＋16＋.∵m，n∈N*，∴n＋1＝7，m＝4×7＋16＋1，即n＝6，m＝45.当且仅当n＝6，m＝45时，a⊥b.5．甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500mL，同时从甲、乙两个容器中各取出100mL溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和．经n－1(n≥2，n∈N*)次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为an、bn.记a1＝10%，b1＝20%.(1)试用an－1，bn－1表示an，bn；(2)求证：数列{an－bn}是等比数列，数列{an＋bn}是常数数列；(3)求数列{an}，{bn}的通项公式．解：(1)由题意知，an＝＝an－1＋bn－1，bn＝＝bn－1＋an－1.(2)证明：由(1)知，an－bn＝(an－1－bn－1)，又因为a1－b1≠0，所以数列{an－bn}是等比数列；an＋bn＝an－1＋bn－1…＝＝a1＋b1＝30%，所以数列{an＋bn}是常数数列．(3)因为a1－b1＝－10%，数列{an－bn}是公比为的等比数列，所以an－bn＝－10%×n－1.又因为an＋bn＝30%，所以an＝－5%×n－1＋15%，bn＝5%×n－1＋15%.6．已知函数f(x)＝.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2…＋＋bn，若Sn<对一切n∈N*成立，求最小的正整数m.解：(1)∵an＋1＝f＝＝an＋，∴{an}是以为公差，首项为a1＝1的等差数列，∴an＝n＋.(2)当n≥2时，bn＝＝＝，当n＝1时，上式同样成立．∴Sn＝b1＋b2…＋＋bn＝＝，∵Sn<，即<对一切n∈N*成立，又随n的增大而增大，且<，∴≤.∴m≥2013，即mmin＝2013.
