"《创新方案》届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题五第三讲第一课时圆锥曲线中的范围、存在性和证明问题（以年真题和模拟题为例，含答案解析）"1．(·陕西高考)已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A，B两点，若A是PB的中点，求直线m的斜率．解：(1)如图1，设M到直线l的距离为d，根据题意，d＝2|MN|.图1由此得|4－x|＝2，化简得＋＝1，∴动点M的轨迹方程为＋＝1.(2)法一：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图2.图2将y＝kx＋3代入＋＝1中，有(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，其中，Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k2)＝96(2k2－3)＞0，由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，①x1x2＝.②又A是PB的中点，故x2＝2x1，③将③代入①②，得x1＝－，x＝，可得2＝，且k2＞，解得k＝－或k＝，∴直线m的斜率为－或.法二：由题意，设直线m的方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图2.∵A是PB的中点，∴x1＝，①y1＝.②又＋＝1，③＋＝1，④联立①②③④，解得或即点B的坐标为(2,0)或(－2,0)，∴直线m的斜率为－或.2.(·福建高考)如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2…，，A9和B1，B2…，，B9.连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*,1≤i≤9)．(1)求证：点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4∶1，求直线l的方程．解：(1)法一：证明：依题意，过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x＝i，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为y＝x.设Pi的坐标为(x，y)，由得y＝x2，即x2＝10y.所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.法二：过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x＝i，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为y＝x.由解得Pi的坐标为.因为点Pi的坐标都满足方程x2＝10y，所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.(2)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋10.由得x2－10kx－100＝0，此时Δ＝100k2＋400>0，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则因为S△OCM＝4S△OCN，所以|x1|＝4|x2|.又x1x2<0，所以x1＝－4x2，③将③分别代入①和②，得解得k＝±.所以直线l的方程为y＝±x＋10，即3x－2y＋20＝0或3x＋2y－20＝0.3．已知椭圆C：＋＝1(a＞0，b＞0)过点，且离心率为.(1)求椭圆方程；(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G，求k的取值范围．解：(1)由题意，椭圆的离心率e＝，即＝，a＝2c，且＋＝1，∴c2＝1，a2＝4，b2＝3，∴椭圆方程为＋＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y并整理，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.∵直线y＝kx＋m与椭圆有两个交点，∴Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，即m2＜4k2＋3.①且M，N的中点坐标P.设MN的垂直平分线l′的方程为y＝－.∵P在l′上，∴＝－，即4k2＋8km＋3＝0.∴m＝－(4k2＋3)．将上式代入①，得＜4k2＋3，∴k2＞，即k＞或k＜－.∴k的取值范围为∪.4．设点P是曲线C：x2＝2py(p>0)上的动点，点P到点(0,1)的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为.(1)求曲线C的方程；(2)若点P的横坐标为1，过P作斜率为k(k≠0)的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意知1＋＝，解得p＝.所以曲线C的方程为x2＝y.(2)由题意知直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1，则点M.联立方程消去y，得x2－kx＋k－1＝0，解得x1＝1，x2＝k－1，则Q(k－1，(k－1)2)．所以直线QN的方程为y－(k－1)2＝－(x－k＋1)，代入曲线y＝x2中，得x2＋x－1＋－(1－k)2＝0，解得x3＝k－1，x4＝1－－k，则N.所以直线MN的斜率kMN＝＝－.又易知过点N的切线的斜率k′＝2.由题意有－＝2.解得k＝.故存在实数k＝满足题意．
