限时集训(二十一)正弦定理和余弦定理(限时:50分钟满分:106分)一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分)1.(·上海高考)在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定2.(·广东高考)在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=()A.4B.2C.D.3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a=2bcosC,则此三角形一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形4.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于()A.B.C.D.5.(·宁波模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2B+sin2C-sin2A+sinBsinC=0,则tanA的值是()A.B.-C.D.-6.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cosC的最小值为()A.B.C.D.-7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cosC=()A.B.-C.±D.8.在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积等于()A.B.C.或D.或二、填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)9.(·北京高考)在△ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=-,则b=________.10.(·福建高考)已知△ABC的三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为________.11.在△ABC中,三边a,b,c所对的角分别为角A,B,C,若a2+b2-c2+ab=0,则角C的大小为________.12.(·重庆高考)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=,cosB=,b=3,则c=________.13.在△ABC中,D为边BC的中点,AB=2,AC=1,∠BAD=30°,则AD的长度为________.14.(·南昌模拟)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若+=6cosC,则+=________.三、解答题(本大题共3个小题,每小题14分,共42分)15.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求C.16.(·江苏高考)在△ABC中,已知·=3·.(1)求证:tanB=3tanA;(2)若cosC=,求A的值.17.(·浙江高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC.(1)求tanC的值;(2)若a=,求△ABC的面积.答案[限时集训(二十一)]1.A2.B3.C4.B5.D6.C7.A8.D9.410.-11.π12.13.14.415.解:由B=π-(A+C),得cosB=-cos(A+C).于是cos(A-C)+cosB=cos(A-C)-cos(A+C)=2sinAsinC,由已知得sinAsinC=.①由a=2c及正弦定理得sinA=2sinC.②由①②得sin2C=,于是sinC=-(舍去),或sinC=.又a=2c,所以C=.16.解:(1)因为·=3·,所以AB·AC·cosA=3BA·BC·cosB,即AC·cosA=3BC·cosB,由正弦定理知=,从而sinBcosA=3sinAcosB,又因为0<A+B<π,所以cosA>0,cosB>0,所以tanB=3tanA.(2)因为cosC=,0<C<π,所以sinC==,从而tanC=2,于是tan[π-(A+B)]=2,即tan(A+B)=-2,亦即=-2.由(1)得=-2,解得tanA=1或-,因为cosA>0,故tanA=1,所以A=.17.解:(1)因为0<A<π,cosA=,得sinA==.又cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC.所以tanC=.(2)由tanC=,得sinC=,cosC=.于是sinB=cosC=.由a=及正弦定理=,得c=.设△ABC的面积为S,则S=acsinB=.