第七节抛物线[全盘巩固]1．抛物线x2＝(2a－1)y的准线方程是y＝1，则实数a＝()A.B.C．－D．－解析：选D把抛物线方程化为x2＝－2y，则p＝－a，故抛物线的准线方程是y＝＝，则＝1，解得a＝－.2．直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于()A.B．2C.D．4解析：选C直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，所以弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.3．(·江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝()A．2∶B．1∶2C．1∶D．1∶3解析：选CFA：y＝－x＋1，与x2＝4y联立，得xM＝－1，FA：y＝－x＋1，与y＝－1联立，得N(4，－1)，由三角形相似知＝＝.4．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝()A．9B．6C．4D．3解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)，由＋＋＝0知，(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3，||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6.5．已知点M(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是()A．抛物线B．椭圆C．双曲线的一支D．直线解析：选A由点P在BM的垂直平分线上，故|PB|＝|PM|.又PB⊥l，因而点P到直线l的距离等于点P到点M的距离，所以点P的轨迹是抛物线．6．(·新课标全国卷Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．4解析：选C设P(x0，y0)，根据抛物线定义得|PF|＝x0＋，所以x0＝3，代入抛物线方程求得y2＝24，解得|y|＝2，所以△POF的面积等于·|OF|·|y|＝××2＝2.7．(·北京高考)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________．解析： 抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，∴＝1，解得p＝2，∴准线方程为x＝－1.答案：2x＝－18．(·丽水模拟)设Q为圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0上任意一点，抛物线y2＝8x的准线为l.若抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PQ|的最小值为________．解析：如图由抛物线定义可得，点P到准线的距离等于其到焦点F的距离，故问题转化为点P到焦点的距离与到圆上点的距离之和的最小值，由圆的知识可知当且仅当点P为圆心C和焦点F的连线与抛物线的交点，Q取CF的连线与圆的交点时，距离之和取得最小值，即m＋|PQ|≥|CF|－r＝－2＝－2.答案：－2.9．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．解析：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－，所以切线方程为4x＋3y－＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝＝.答案：10．已知以向量v＝为方向向量的直线l过点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．(1)求抛物线C的方程；(2)设A，B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若·＋p2＝0(O为原点，A，B异于原点)，试求点N的轨迹方程．解：(1)由题意可得直线l的方程为y＝x＋，①过原点垂直于l的直线方程为y＝－2x.②解①②得x＝－. 抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，∴－＝－×2，p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，由题意知y0＝y1.由·＋p2＝0，得x1x2＋y1y2＋4＝0，又y＝4x1，y＝4x2，解得y1y2＝－8，③直线ON：y＝x，即y0＝x0.④由③④及y0＝y1得点N的轨迹方程为x＝－2(y≠0)．11．已知定点A(1,0)和直线x＝－1上的两个动点E，F，且⊥，动点P满足∥，∥(其中O为坐标原点)．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C相交于两个不同的点M，N，若·<0，求直线l的斜率的取值范围．解：(1)设P(x，y)，E(－1，yE)，F(－1，yF)， ·＝(－2，yE)·(－2，yF)＝yE·yF＋4＝0，∴yE...
