第三节圆的方程[全盘巩固]1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1B．1C．3D．－3解析：选B因为圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1,2)，所以3×(－1)＋2＋a＝0，解得a＝1.2．(·昆明模拟)方程|x|－1＝所表示的曲线是()A．一个圆B．两个圆C．半个圆D．两个半圆解析：选D由题意得即或故原方程表示两个半圆．3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A．πB．4πC．8πD．9π解析：选B设P(x，y)，由题意知有，(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4.可知圆的面积为4π.4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析：选A设圆心坐标为(0，b)．则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1.又因为该圆过点(1,2)，所以圆的方程为12＋(2－b)2＝1，解得b＝2.即圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.5．实数x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，则(x－1)2＋(y－1)2的最大值为()A．30＋2B．30＋4C．30＋2D．30＋4解析：选B(x－1)2＋(y－1)2表示圆x2＋(y＋4)2＝4上动点(x，y)到点(1,1)距离d的平方，因为－2≤d≤＋2，所以最大值为(＋2)2＝30＋4.6．(·杭州模拟)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是()A.B.C.D.解析：选A将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，若圆关于已知直线对称，即圆心在直线上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2≤＋.7．(·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________．解析：由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即－＝.答案：8．(·丽水模拟)直线y＝x＋1被圆x2－2x＋y2－3＝0所截得的弦长为________．解析：题中的圆心坐标是(1,0)，半径是2，圆心(1,0)到直线x－y＋1＝0的距离等于，因此所求的弦长等于2＝2.答案：29．定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合⊆A，则称A为一个开集，给出下列集合：①；②；③；④.其中为开集的是________(写出所有符合条件的序号)．解析：集合表示以(x0，y0)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)，由开集的定义知，集合A应该无边界，故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意．答案：②④10．圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，求圆C的方程．解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则k、2为x2＋Dx＋F＝0的两根，∴k＋2＝－D,2k＝F，即D＝－(k＋2)，F＝2k，又圆过R(0,1)，故1＋E＋F＝0.∴E＝－2k－1.故所求圆的方程为x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0，圆心坐标为. 圆C在点P处的切线斜率为1，∴kCP＝－1＝，∴k＝－3.∴D＝1，E＝5，F＝－6.∴所求圆C的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.11．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1) 直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①又 直径|CD|＝4，∴|PA|＝2.∴(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得或∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.12．(·广州模拟)在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于0.(1)求的坐标；(2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．解：(1)设＝(x，y)，由|AB|＝2|OA|，·＝0，得解得或若＝(－6，－8)，则yB＝－11与yB>0矛盾．所以舍去．即＝(6,8)．(2)圆x2－6x＋y2＋2y＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝()2，其圆心为C(3，－1)，半径r＝，因为＝＋＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)，所以直线OB的方程为y＝x，设圆心C(3，－1)关于直线y＝x的对称点的坐标为(a，b)．则解得所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.[冲击名校]已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：(1)的最大值和最小值；...
