第三节三角函数的图象与性质[全盘巩固]1．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是()A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin|x|解析：选B注意到函数y＝sin的最小正周期T＝＝π，当x＝时，y＝sin＝1，因此该函数同时具有性质①②.2．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－B．0C．－1D．－1－解析：选A 0≤x≤9，∴0≤x≤，∴≤－x≤－，∴≤－sin≤1，≤即－2sin≤2.所以其最大值为2，最小值为－，故最大值与最小值之和为2－.3．已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的值不可能是()A.B.C．πD.解析：选A画出函数y＝sinx的草图分析知b－a的取值范围为.4．(·丽水模拟)函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图象是()ABCD解析：选Dy＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|＝故选D.5．(·温州模拟)若函数y＝2cosωx在区间上递减，且有最小值1，则ω的值可以是()A．2B.C．3D.解析：选B由y＝2cosωx在上是递减的，且有最小值为1，则有f＝1，即2×cos＝1，即cosω＝.经验证，得出选项B符合．6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝. 当x＝时，f(x)有最大值，∴×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，φ＝＋2kπ(k∈Z)， －π＜φ≤π，∴φ＝.∴f(x)＝2sin，由函数f(x)的图象(图略)易得，函数f(x)在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是增函数．7．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f＝f，则f等于________．解析： f＝f，∴x＝是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．∴f＝±2.答案：2或－28．已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|，则f(x)的值域是________．解析：f(x)＝(sinx＋cosx)－|sinx－cosx|＝画出函数f(x)的图象(实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为，故值域为.答案：9．已知函数f(x)＝cosxsinx(x∈R)，给出下列四个命题：①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；②f(x)的最小正周期是2π；③f(x)在区间上是增函数；④f(x)的图象关于直线x＝对称．其中真命题的是________．解析：f(x)＝sin2x，当x1＝0，x2＝时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命题；f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；当x∈时，2x∈，故③是真命题；因为f＝sin＝－，故f(x)的图象关于直线x＝对称，故④是真命题．答案：③④10．函数f(x)＝Asin＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈，f＝2，求α的值．解：(1) 函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2. 函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，∴函数f(x)的解析式为y＝2sin＋1.(2) f＝2sin＋1＝2，∴sin＝. 0<α<，∴－<α－<，∴α－＝，∴α＝.11．(·湖南高考)已知函数f(x)＝sin＋cos，g(x)＝2sin2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．解：f(x)＝sin＋cos＝sinx－cosx＋cosx＋sinx＝sinx，g(x)＝2sin2＝1－cosx.(1)由f(α)＝，得sinα＝.又α是第一象限角，所以cosα>0.从而g(α)＝1－cosα＝1－＝1－＝.(2)f(x)≥g(x)等价于sinx≥1－cosx，即sinx＋cosx≥1.于是sin≥.从而2kπ≤＋x≤＋2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为.12．已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx，2cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．解：(1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ＝2sin＋λ.由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin＝±1，所以2ωπ－＝kπ＋...
