第五节数列的综合问题[全盘巩固]1．已知各项均不为0的等差数列{an}，满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝()A．2B．4C．8D．16解析：选D因为{an}为等差数列，所以a3＋a11＝2a7，所以已知等式可化为4a7－a＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍去)，又{bn}为等比数列，所以b6b8＝b＝a＝16.2．已知等比数列{an}中的各项都是正数，且5a1，a3,4a2成等差数列，则＝()A．－1B．1C．52nD．52n－1解析：选C设等比数列{an}的公比为q(q>0)，则依题意有a3＝5a1＋4a2，即a1q2＝5a1＋4a1q，q2－4q－5＝0，解得q＝－1或q＝5.又q>0，因此q＝5，所以＝＝q2n＝52n.3．在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是()A．1B．2C．3D．4解析：选A根据等差、等比数列的性质，可知x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4.∴P1(2,2)，P2(3,4)．∴S△OP1P2＝1.4．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于()A.B.C.D.解析：选B由y＝loga(x－1)＋3恒过定点(2,3)，即a2＝2，a3＝3，又{an}为等差数列，∴an＝n，n∈N*.∴bn＝，∴T10…＝－＋－＋＋－＝1－＝.5．(·宁波模拟)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2＋1，则a13＝()A．143B．156C．168D．195解析：选C由an＋1＝an＋2＋1，可知an＋1＋1＝an＋1＋2＋1＝(＋1)2，即＝＋1，故数列{}是公差为1的等差数列，所以＝＋12＝13，则a13＝168.6．数列{an}的通项an＝n2，其前n项和为Sn，则S30为()A．470B．490C．495D．510解析：选A注意到an＝n2cos，且函数y＝cos的最小正周期是3，因此当n是正整数时，an＋an＋1＋an＋2＝－n2－(n＋1)2＋(n＋2)2＝3n＋，其中n＝1,4，7…，，S30＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)…＋＋(a28＋a29＋a30)…＝＋＋＋＝3×＋×10＝470.7．(·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．解析：由题意知第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22…＋＋2n＝(2n＋1－2)棵，令2n＋1－2≥100，则2n＋1≥102，又25＋1＝26＝64,26＋1＝27＝128，∴n≥6.∴n的最小值为6.答案：68．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为________．解析：由题意知a＝a1·a7，即(a1＋2d)2＝a1·(a1＋6d)，∴a1＝2d，∴等比数列{bn}的公比q＝＝＝2.答案：29．(·台州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且＝，S7－S4＝15，则Sn的最小值为______．解析：设等差数列{an}的公差为d，依题意有由此解得a1＝－15，d＝4，an＝4n－19，Sn＝＝2n2－17n＝22－2，因此当n＝4时，Sn取得最小值2n2－17n＝2×42－17×4＝－36.答案：－3610．(·新课标全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7…＋＋a3n－2.解：(1)设数列{an}的公差为d.由题意，a＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7…＋＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝·(－6n＋56)＝－3n2＋28n.11．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a2·a4＝65，a1＋a5＝18.(1)若1
0，∴a2
