圆锥曲线的统一定义【新知导读】1．在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个式子：，这个式子的几何意义为.2.圆锥曲线可以统一定义为：.当时，它表示；当时，它表示；当时，它表示.其中是圆锥曲线的，定点F是圆锥曲线的，定直线l是圆锥曲线的.3.设椭圆（＞＞0）的右焦点为F1，右准线为，若过F1且垂直于轴的弦的长等于点F1到的距离，则椭圆的离心率为________.（这一题，我们能否不通过计算得到结果？）答案：4.抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是________.答案：、【范例点睛】例1二：双曲线的左右焦点分别为，在双曲线的右支上求点P，使|PF1|=3|PF2|．分析：欲求点P的坐标(x，y)，必须建立两个关于x、y的方程，由题意及两点间距离公式很容易得到方程组，但想必解起来麻烦些，进一步分析题意，PF1，PF2都是焦半径，于是联想到双曲线的两个定义，从不同的定义出发，我们得到以下两种不同的解法：解法1：易知F1(－5，0)，F2(5，0)用心爱心专心且∴，则有：①②消去y，得25x2-160x=0∴代入②得∴所求点P坐标为（，）解法2：设点P到左、右准线的距离分别为d1、d2．则，，∵|PF1|=3|PF2|∴d1=3d2于是∴点P的横坐标为再将代入双曲线方程，得∴所求点P坐标为（，）.例2已知点（1，2）在椭圆内，的坐标为（2，0），在椭圆上求一点使最小.（对这种距离问题，我们有可能会想到应用两点间距离公式来解，但是很快就发现这种解法极为复杂，这时我们就想到能否另辟蹊径？请大家打开几何画板演示四人小组合作探索这条题的解法）（其实，有了上几题的启示，我们很快就可以想到能不能从PF这条焦半径入手，由椭圆方程知道，从而有，很快我们就可以发现，这样用心爱心专心就可以把焦半径PF转化为PP’，从而使得问题的规律性更为明显――只需把折线拉直了就可以得到最小值。）解：∵，∴，∴为椭圆的右焦点，并且离心率为.设到右准线的距离为，则，∴由几何性质可知，当点的纵坐标（横坐标大于零）与点的纵坐标相同时，最小。把代入得（负舍之），即为所求.小结：本题体现了转化的思想，在解题中我们常常将焦半径通过“”转化为点到准线的距离。（从上面的学习中我们可以感受到，灵活掌握定义可以对解题带来很大的帮助，下面这条题，对如何准确把握定义提出了更高一层的要求，大家不妨试试。）【自我检测】1．在双曲线上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍.2．已知点M（－2，4）及焦点为F的抛物线，在此抛物线上求一点P，使的值最小.3.已知圆锥曲线一个焦点F（1，2），对应于这个焦点的准线方程为，且曲线过点.①求圆锥曲线的方程.②过焦点F任作直线交曲线于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.4.曲线的离心率为()用心爱心专心A.B.C.2D.无法确定答案：B5.若椭圆内有一点，F为右焦点，椭圆上的点M使得│MP│+2│MF│的值最小，则点M为(B)A.B.C.D.6.已知点A（4，0）和B（2，2），M是椭圆上的动点，则最大值是_________.7.双曲线上一点P到左焦点距离为20，则点P到右准线距离为7.已知双曲线的右焦点为F，点A（9，2），试在双曲线上求一点M使的值最小并求出最小值.解：因，故由题可知A必在双曲线内部且双曲线右准线为.如图过M作MN⊥于N，则由统一定义得：用心爱心专心由图形可知当且仅当A、M、N三点共线时，最小从而最小将代入双曲线方程得：（负值舍去）故当M坐标为时，取得最小值36.注：运用定义，将圆锥曲线的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以给解题带来极大方便，对椭圆与抛物线也有类似问题，读者可自行探究.用心爱心专心
