【创新设计】-学年高中数学2.3.1抛物线的定义与标准方程活页训练湘教版选修1-11．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程为()．A．y2＝－8xB．y2＝－4xC．y2＝8xD．y2＝4x解析设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则＝2，p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x.答案C2．抛物线3y2＝x的焦点坐标为()．A.B.C.D.解析抛物线化为y2＝x，则焦点为.答案D3．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是()．A.B.C．|a|D．－解析因为y2＝ax，所以p＝，即该抛物线的焦点到其准线的距离为，故选B.答案B4．过点(3，0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为________．解析如图，设P为满足条件的一点，则P到A点的距离等于到y轴的距离，故P在以A(3，0)为焦点、y轴为准线的抛物线上，即P点的轨迹为抛物线．答案抛物线5．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4，则焦点F到直线AB的距离为________．解析由抛物线的方程可知F(1，0)，由|AB|＝4且AB⊥x轴，得y＝(2)2＝12，∴xA＝＝3，∴所求距离为3－1＝2.答案26．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(－3，2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．解(1)若抛物线焦点落在x轴上，设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)．将点(－3，2)代入方程得22＝－2p×(－3)，p＝.故抛物线方程为y2＝－x；若抛物线焦点落在y轴上，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)．将点(－3，2)代入方程得(－3)2＝2p×2，p＝.故抛物线方程为x2＝y.综上，抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4，0)，则抛物线的焦点坐标为(4，0)．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，＝4，p＝8，所以抛物线方程为y2＝16x；直线x－2y－4＝0与y轴的交点为(0，－2)，则抛物线的焦点坐标为(0，－2)．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，－＝－2，p＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.综上抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.7．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()．A．y2＝16xB．y2＝－16xC．y2＝8xD．y2＝－8x解析由双曲线方程－＝1，可知其焦点在x轴上，由a2＝16，得a＝4，∴右顶点坐标是(4，0)，∴抛物线的焦点为F(4，0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，则由＝4，得p＝8，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x.答案A8．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()．A．2B．3C.D.解析设抛物线焦点为F，则点F为(1，0)，x＝－1为抛物线的准线，∴点P到l2的距离与|PF|相等，所以当PF⊥l1时，所求和最小，最小值为F点到l1的距离，其值为＝2，故选A.答案A9．若抛物线y2＝2px(p>0)上有一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点M的横坐标为________．解析∵点M到对称轴的距离为6，∴设点M的坐标为(x，±6)，∵点M到准线的距离为10，∴解得或即点M的横坐标为1或9.答案1或910．已知点P为抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是，则|PA|＋|PM|的最小值为________．解析如图所示，焦点F，A在抛物线外部．显然，当P、A、F三点共线时，|PA|＋|PM|才有最小值，此时|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－＝|FA|－＝－＝.答案11．平面上动点P到定点F(1，0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．解法一设点P的坐标为(x，y)，则有＝|x|＋1.两边平方并化简得y2＝2x＋2|x|.∴y2＝即点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0)．法二由题意，动点P到定点F(1，0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1，0)到y轴的距离为1，故当x<0时，直线y＝0上的点适合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F(1，0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x<0).12.(创新拓展)某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽8m．一木船宽4m，高2m，载货后木船露在水面上的部分高为m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解以拱桥拱顶为坐标原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知，点A(4，－5)在抛物线x2＝－2py(p>0)上，所以16＝－2p×(－5)，2p＝.所以抛物线方程为x2＝－y(－4≤x≤4)．设水面上涨船面两侧与抛物线拱桥触于BB′时，船开始不能通航，设B(2，y)，由22＝－×y，所以y＝－.所以水面与抛物线拱顶相距|y|＋＝2(m)．所以，水面上涨到距抛物线拱顶2m时，船开始不能通航．
