2.4函数的奇偶性巩固·夯实基础一、自主梳理1.奇函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)〔或f(x)+f(-x)=0〕,则称f(x)为奇函数.2.偶函数:对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)〔或f(x)-f(-x)=0〕,则称f(x)为偶函数.3.奇、偶函数的性质(1）具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.(3)若奇函数的定义域包含数0，则f(0)=0.(4)奇函数的反函数也为奇函数.(5)定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.二、点击双基1．下面四个结论中，正确命题的个数是(）①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)A.1B.2C.3D.4解析:①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f(x)=0〔x∈(-a,a)〕.答案:A2．已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，那么g(x)=ax3+bx2+cx是()A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数解析:由f(x)为偶函数，知b=0，有g(x)=ax3+cx(a≠0)为奇函数.答案:A3．若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0］上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞-2)∪(2,+∞)D.(-2,2)解析：由图象法可解,由函数的性质可画出其图象如图所示.显然f(x)<0的解集为{x|-20.从而有f(x)=2，这时有f(-x)==-f(x),故f(x)为奇函数.(4)∵函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),并且当x>0时，-x<0,∴f(-x)=(-x)［1-(-x)］=-x(1+x)=-f(x)(x>0).当x<0时，-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x)(x<0).故函数f(x)为奇函数.讲评:(1)分段函数的奇偶性应分段证明.(2)判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.【例3】函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1、x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数，求x的取值范围.(1)解:令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0.(2)证明:令x1=x2=-1,有f［(-1)×(-1)］=f(-1)+f(-1).解得f(-1)=0.令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),∴f(-x)=f(x).∴f(x)为偶函数.(3)解:f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3.∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3,即f［(3x+1)(2x-6)］≤f(64).(*)∵f(x)在(0,+∞)上是增函数，∴(*)等价于不等式组或即∴30的解集是(a2,b),g(x)>0的解集是(,),>a2,那么f(x)·g(x)>0的解集是()A.(,)B.(-b,-a2)3C.(a2,)∪(-,-a2)D.(,b)∪(-b2,-a2)提示:f(x)·g(x)>0或∴x∈(a2,)∪(-,-a2).答案:C4
