2-2-2圆的一般方程1．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是()．A．以(a，b)为圆心的圆B．以(－a，－b)为圆心的圆C．点(a，b)D．点(－a，－b)解析由题意配方，得(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，所以方程表示点(－a，－b)．答案D2．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是()．A．k＞1B．k＜1C．k≥1D．k≤1解析由方程表示圆的条件，得16＋4－20k＞0，∴k＜1.答案B3．动点在圆x2＋y2＝1上移动时，它与点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是()．A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1D.2＋y2＝解析设圆上任一点A(x0，y0)，AB的中点为(x，y)，则x＝，y＝，x0＝2x－3，y0＝2y，代入x2＋y2＝1，得(2x－3)2＋(2y)2＝1.故选C.答案C4．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.解析由题意，可得圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，将代入直线方程，得－1－＋2＝0，解得a＝－2.答案－25．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________.解析D＝－4，E＝8，＝4，∴F＝4.答案46．建立适当的直角坐标系，求长为8，宽为6的长方形ABCD的外接圆P的方程．解法一以A为原点，以线段AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系．由题意可得：B(8,0)、D(0,6)．根据长方形的性质：外接圆的圆心就是对角线BD的中点，直径就是线段BD.因此圆心P为(4,3)，外接圆的半径为5.所以长方形ABCD的外接圆的方程为：(x－4)2＋(y－3)2＝25.法二以A为原点，以线段AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系．设△ABD的外接圆的一般方程为x2＋y2＋Mx＋Ey＋F＝0.将三点A(0,0)，B(8,0)，D(0,6)，代入得解得故所求圆的方程为x2＋y2－8x－6y＝0.7．方程|x|－1＝所表示的曲线是()．A．一个圆B．两个圆C．一个半圆D．两个半圆解析方程可化为(|x|－1)2＋(y－1)2＝1，又|x|－1≥0，所以x≥1或x≤－1.若x≤－1，方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1；若x≥1，方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.方程表示两个半圆．答案D8．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标是()．A．(－1,1)B．(1，－1)C．(－1,0)D．(0，－1)解析r＝＝.当k＝0时，r最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．答案D9．已知动圆x2＋y2－2ax－ay＋a2＝0(a≠0)，则动圆圆心P的轨迹方程为________．解析设P(x，y)，由题知：∴y＝，又∵a≠0，∴x≠0，∴P的轨迹方程为：y＝(x≠0)．答案y＝(x≠0)10．若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A、B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m的值为________．解析由已知，得圆半径r为.令x＝0，得y2＋2y＋m＝0，∴y1＋y2＝－2，y1y2＝m.∴|AB|2＝|y1－y2|2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝4－4m.∴2(5－m)＝4－4m，解得m＝－3.答案－311．求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．解设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)．由于点A的坐标为(3,0)且M是线段AP的中点，所以x＝，y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.因为点P在圆x2＋y2＝1上移动，所以点P的坐标满足方程x＋y＝1，则(2x－3)2＋4y2＝1，整理得2＋y2＝.所以点M的轨迹方程为2＋y2＝.12．(创新拓展)求经过两点A(4,2)，B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．解设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；由题设，x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，所以D＋E＝－2.①又A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上，所以16＋5＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0，由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
