高三数学一轮复习第5知识块第1讲数列的概念与简单表示法随堂训练文新人教A版VIP免费

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第五知识块数列第1讲数列的概念与简单表示法一、选择题1．(·广西桂林模拟)已知数列{an}中，an∈，an＋1＝＋a，则数列{an}是()A．单调递增数列B．单调递减数列C．摆动数列D．先递增后递减数列解析：∵an＋1－an＝a－an＋＝2－，又∵0，即(an－1)2－>0，∴an＋1－an>0，即an＋1>an对一切正整数n都成立，故数列{an}是单调递增数列．答案：A2．(·长春实验中学模拟)已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是()A．2n－1B.n－1C．n2D．n解析：∵an＝n(an＋1－an)，∴＝，∴an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝n.答案：D3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn解析：由an＋1＝an＋ln得an＋1－an＝ln，于是有a2－a1＝ln，a3－a2＝ln，…，an－an－1＝ln.以上n－1个式子相加得an－a1＝ln，又a1＝2，所以an＝2＋lnn.答案：A4．(·改编题)数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2010等于()A.B.C.D.解析：由已知得数列{an}的周期为4且前四项分别为，，，，易得a2010＝a2＝.答案：D二、填空题5．已知数列{an}是递增数列，且对n∈N*，都有an＝n2＋λn，则实数λ的取值范围是________．解析：由an＋1>an恒成立得(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，即λ>－2n－1成立，∴λ>－3.答案：(－3，＋∞)6．(·创新题)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a3的值为________，a1·a2·a3·…·a2010的值为________．解析：据已知数列递推公式得：a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，…故已知数列为以4为周期的周期数列，故a1a2…a2010＝(a1a2a3a4)502·a2009·a2010＝a1·a2＝－.答案：－－7．(·四川南充模拟精选)已知{an}的前n项和为Sn，满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.解析：由已知条件可得：Sn＋1＝2n＋1.∴Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，n＝1时不适合an，故an＝.答案：三、解答题8．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)讨论数列{an}的单调性，并证明你的结论．解：(1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，∴有2log2an－2－log2an＝－2n，即an－＝－2n，∴a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.∵an>0，∴an＝－n.(2)作商比较，∵＝＝<1，又∵an>0，∴an＋11)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若an＝2010，求n.解：(1)∵a1＝1，且an＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n>1)，∴a2＝a1＝1，an＋1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an(n≥1)．∴an＋1－an＝an(n≥2)．∴an＋1＝an，∴＝(n≥2)．∴＝＝…＝＝，∴an＝(n≥2)．∴an＝(2)当an＝2010时，n＝4020.10．(·山东淄博模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式；(2)求n为何值时，an最小．解：(1)由得：bn＋1－bn＝2n－6，b1＝a2－a1＝－14.当n≥2时，bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋(b4－b3)＋…＋(bn－bn－1)＝－14＋(2×1－6)＋(2×2－6)＋(2×3－6)＋…＋[2(n－1)－6]＝－14＋2×－6(n－1)＝n2－7n－8当n＝1时，上式也成立．∴数列{bn}的通项公式为bn＝n2－7n－8.(2)由(1)可知：an＋1－an＝n2－7n－8＝(n＋1)(n－8)．当n<8时，an＋1a2>a3>…>a8当n＝8时，a9＝a8当n>8时，an＋1>an，即：a90)的图象，要使an最大，则须n－最小且n－>0，∴n＝45时，an最大，n＝44时，an最小．答案：D2．(★★★★)已知函数fn(x)＝[x[x]]，x∈(n，n＋1)(n＝1,2,3，…)，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－2.1]＝－3，[－3]＝－3，[2.5]＝2，函数fn(x)的值域中元素个数记为an，数列{an}的前n项和为Sn，则满足anSn<500的最大正整数n等于________．解析：∵x∈(n，n＋1)，∴[x]＝n，∴fn(x)＝[nx]，又nx∈(n2，n2＋n)，∴fn(x)∈[n2，n2＋n－1]，∴an＝n，Sn＝，anSn＝，当n＝9时，anSn＝405，当n＝10时，anSn＝550，∴满足条件的最大正整数为9.答案：9

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