第3讲等比数列及其前n项和一、选择题1．(·原创题)在正项等比数列{an}中，a3＝，a5＝8a7，则a10＝()A.B.C.D.解析：设正项等比数列{an}的公比为q，则由已知得a1q4＝8a1q6，解得q＝，或q＝－(舍去)，所以a10＝a3q7＝×7＝.答案：D2．(·模拟精选)若等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋a，则常数a的值等于()A．－B．－1C.D．3解析：由Sn＝32n－1＋a知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3＝8×32n－3.当n＝1时，a1＝S1＝3＋a. 数列{an}是等比数列，∴3＋a＝8×32×1－3＝，∴a＝－.答案：A3．在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则的值为()A．9B．1C．2D．3解析：由等比数列性质可知a3a5a7a9a11＝a＝243，所以得a7＝3，又＝＝a7＝3.答案：D4．(·改编题)设数列{xn}满足log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，记{xn}的前n项和为Sn，则S20＝()A．1025B．1024C．10250D．10240解析： log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，∴log2xn＋1＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，＝2(n∈N*)，又xn>0(n∈N*)，所以数列{xn}是公比为2的等比数列，由x1＋x2＋…＋x10＝10得到x1＝，所以S20＝＝10×(210＋1)＝10250.答案：C二、填空题5．已知等比数列{an}的各项均为正数．若a1＝3，前三项的和为21，则a4＋a5＋a6＝________.解析：由S3＝21，得1＋q＋q2＝7，解得q＝2，所以a4＋a5＋a6＝a1q3(1＋q＋q2)＝168.答案：1686．已知{an}是正数组成的等比数列，a1＝，a2·a4＝9，则a5＝________.解析：由等比数列的性质，有a5·a1＝a2·a4＝9，即a5＝9，所以a5＝27.答案：277．(·江苏卷)设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an－1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.解析：由an＝bn－1，且数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中．经分析判断知{an}的连续四项应为－24，36，－54,81.又|q|>1，所以数列{an}的公比为q＝－，则6q＝－9.答案：－9三、解答题8．(·模拟精选)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝1，S8＝17，求{an}的通项公式．解：解法一：在等比数列{an}中，由S4＝1，S8＝17，则q≠1，因此②÷①得q4＋1＝17，则q4＝16，∴q＝2，或q＝－2，由q＝2代入①得a1＝，由q＝－2代入①得a1＝－，所以数列{an}的通项公式为an＝·2n－1或an＝·(－2)n－1.解法二：q4＝＝16，则q＝2，或q＝－2.又S4＝1，当q＝2时，由a1(1＋q＋q2＋q3)＝1得：a1＝因此an＝a1qn－1＝；当q＝－2时，由a1(1＋q＋q2＋q3)＝1得：a1＝－.因此an＝a1qn－1＝－.9．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn(c是常数，n＝1,2，3，…)，且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．(1)求c的值；(2)求{an}的通项公式．解：(1)a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以(2＋c)2＝2(2＋3c)，解得c＝0或c＝2.当c＝0时，a1＝a2＝a3，不符合题意，应舍去，故c＝2.(2)当n≥2时，由于a2－a1＝c，a3－a2＝2c，…，an－an－1＝(n－1)c，所以an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝c.又a1＝2，c＝2，故an＝2＋n(n－1)＝n2－n＋2(n＝2，3，…)．当n＝1时，上式也成立，所以an＝n2－n＋2(n＝1,2，…)．10．(·浙江卷)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．(1)求a1及an；(2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．解：(1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)．a1＝k＋1也满足上式，所以an＝2kn－k＋1，n∈N*.(2)由am，a2m，a4m成等比数列，得(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，将上式化简，得(k－1)＝0，因为m∈N*，所以m≠0，故k＝0或k＝1.1．(·改编题)定义运算符号“*”满足以下运算性质：(1)2*＝1；(2)(2n＋2)*2010＝2[(2n)*2010](n∈N*)，则2010*2010＝________.解析：设an＝(2n)*2010(n∈N*)，则有a1＝1，an＋1＝2an，∴an＝2n－1(n∈N*)，则2010＝a1005＝21004.答案：210042．(·创新题)等比例{an}的首行为a1，公比为q（q≠1）,用用Sn→m表示这个数列的第n项到第m项(共m－n＋1项)的和(m>n，m、n∈N*)，所以S1→3＝a1(1＋q＋q2)，S4→6＝a1q3(1＋...
