高中信息技术 全国青少年奥林匹克联赛教案 递归与回溯法VIP免费

递归与回溯法课题：递归与回溯目标：知识目标：递归概念与利用递归进行回溯能力目标：回溯算法的应用重点：回溯算法难点：回溯算法的理解板书示意：1）递归的理解2）利用递归回溯解决实际问题（例14、例15、例16、例17、例18）3）利用回溯算法解决排列问题（例19）授课过程：什么是递归？先看大家都熟悉的一个民间故事：从前有座山，山上有座庙，庙里有一个老和尚在给小和尚讲故事，故事里说，从前有座山，山上有座庙，庙里有一个老和尚在给小和尚讲故事，故事里说……。象这样，一个对象部分地由它自己组成，或者是按它自己定义，我们称之是递归。例如，我们可以这样定义N!，N!=N*(N-1)!，因此求N!转化为求(N-1)!。这就是一个递归的描述。因此，可以编写如下递归程序：programFactorial;varN:Integer;T:Longint;functionFac(N:Integer):Longint;beginifN=0thenFac:=1elseFac:=N*Fac(N-1)end;beginWrite('N=');Readln(N);T:=Fac(N);Writeln('N!=',T);end.图13展示了N=3的执行过程。由上述程序可以看出，递归是一个反复执行直到递归终止的过程。设一个未知函数f，用其自身构成的已知函数g来定义：为了定义f(n)，必须先定义f(n-1)，为了定义f(n-1)，又必须先定义f(n-2)，…，图13递归调用示例图上述这种用自身的简单情况来定义自己的方式称为递归定义。递归有如下特点：①它直接或间接的调用了自己。②一定要有递归终止的条件，这个条件通常称为边界条件。与递推一样，每一个递推都有其边界条件。但不同的是，递推是由边界条件出发，通过递推式求f(n)的值，从边界到求解的全过程十分清楚；而递归则是从函数自身出发来达到边界条件，在通过边界条件的递归调用过程中，系统用堆栈把每次调用的中间结果（局部变量和返回地址）保存起来，直至求出递归边界值f(0)=a。然后返回调用函数。返回的过程中，中间结果相继出栈恢复，f(1)=g(1,a)f(2)=g(2,f(1))……直至求出f(n)=g(n,f(n-1))。由此可见，递归算法的效率往往很低，费时和费内存空间。但是递归也有其长处，它能使一个蕴含递归关系且结构复杂的程序简洁精炼，增加可读性。特别是在难于找到从边界到解的全过程的情况下，如果把问题进一步，其结果仍维持原问题的关系，则采用递归算法编程比较合适。递归算法适用的一般场合为：①数据的定义形式按递归定义。如裴波那契数列的定义：对应的递归程序为functionfib(n:Integer):Integer;beginifn=0thenfib:=1{递归边界}递归按其调用方式分直接递归——递归过程P直接自己调用自己；间接递归——即P包含另一过程D，而D又调用P；elseifn=1thenfib:=2{递归边界}elsefib:=fib(n–2)+fib(n–1);{递归}end;这类递归问题可转化为递推算法，递归边界为递推的边界条件。例如上例转化为递推算法即为functionfib(n:Integer):Integer;beginf[0]:=1;f[1]:=2;{递推边界}forI:=2tondof[I]:=f[I–1]+f[I–2];fib:=f(n);end;②数据之间的关系（即数据结构）按递归定义。如树的遍历，图的搜索等。③问题解法按递归算法实现。例如回溯法等。对于②和③，可以用堆栈结构将其转换为非递归算法，以提高算法的效率以及减少内存空间的浪费。下面以经典的N皇后问题为例，看看递归法是怎样实现的，以及比较递归算法和非递归算法效率上的差别。例15：N皇后问题在N*N的棋盘上放置N个皇后而彼此不受攻击（即在棋盘的任一行，任一列和任一对角图14八皇后的两组解线上不能放置2个皇后），编程求解所有的摆放方法。分析：由于皇后的摆放位置不能通过某种公式来确定，因此对于每个皇后的摆放位置都要进行试探和纠正，这就是“回溯”的思想。在N个皇后未放置完成前，摆放第I个皇后和第I+1个皇后的试探方法是相同的，因此完全可以采用递归的方法来处理。下面是放置第I个皇后的的递归算法：ProcedureTry(I:integer)；{搜索第I行皇后的位置}varj:integer;beginifI=n+1then输出方案；forj:=1tondoif皇后能放在第I行第J列的位置thenbegin放置第I个皇后；对放置皇后的位置进行标记；Try（I+1）对放置皇后的位置释放标记；End;End;N皇后问题的递归算法的程序如下：programN_Queens;constMaxN=100;{最多皇后数}varA:array[1..MaxN]of...