第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ1听课随笔第三节对数（3）学习要求1．初步掌握对数运算的换底公式及其简单应用。2．培养学生的数学应用意识。【课堂互动】自学评价1．对数换底公式2．说明：由换底公式可得以下常见结论（也称变形公式）：①；②；③３．换底公式的意义是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则，所以利用换底公式可以解决一些对数的底不同的对数运算。【精典范例】例1：计算（1）（2）（3）分析：这是底不同的对数运算，可考虑用对数换底公式求解。【解】（1）原式（2）原式另解：原式（3）原式点评:利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，它在求值或恒等变形中起了重要作用，在解题过程中应注意：⑴针对具体问题，选择恰当的底数；⑵注意换底公式与对数运算法则结合使用；⑶换底公式的正用与逆用；（4）变形公式可简化运算。例2：1）已知，试用表示（2）已知，，用、表示（3）已知，用表示【解】（1）∵∴（2）∵，∴（3）由，得∴点评:当一个题目中同时出现指数式和对数式时，2一般要把问题转化，统一到一种表达式上，在求解过程中，根据题目的需要，将指数式转化为对数式，或将对数式转化为指数式，这正是数学数学转化思想的具体表现。追踪训练一1.利用换底公式计算：（1）（2）2.求证：3．答案：1．（1）2（2）2。略3．2【选修延伸】一、对数的应用例3：如图,2000年我国国内生产总值（GDP）为89442亿元.如果我国GDP年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年以后，我国GDP才能实现比2000年翻两番的目标？1998-2002年我国GDP数据图GDP/亿元时间/so2002200120001999199812000010000080000600004000020000【解】设经过年后我国的GDP实现比2000年翻两番.则:∴答:约经过19年以后,我国GDP才能实现比2000年番两番.例4:要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性.动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原有的会自动衰变.经过5730年（的半衰期），它的残余量只有原始量的一半.我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代.分析：【解】设经过年后的残余量是，由的半衰期是5730年，即时，得，∴，，∴由，知∴，∴∴古莲子约是1066年前的遗物。思维点拔：有关增长率问题，满足关系式，其中是增长（降低）前的量，为增长率（降低率），为增长（降低）次数，是增长（降低）后的量，要求或需要对等式两边取对数，选择恰当的底数是关键，在解题过程中，常取常用对数。追踪训练二1．2．3．3学生质疑教师释疑4
