在双曲线C：P厉锥曲线的第三定义及运用椭圆和双曲线的第三定义1.椭圆在椭圆C:—+y=l(ab0)中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一点,a2b2b2若k、k存在，则有：k•k=e2-1=--PAPBPAPBa2证明：构造△PAB的PA边所对的中位线MO，k=k，由点差法结论：k•k=e2-1=--PAMOMOPBa2知此结论成立。2.双曲线y2=1中，A、B是关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A、B的一点，若k、kPAPBb2存在，则有：k•k=e2-1=-PAPBa2例题一：已知椭圆C：+L=l(aa2b20)的离心率e=，A、B是椭圆的左右顶点，为椭圆与双与角度有关的问题X2y2cosB线---=1的一个交点’令zPAB=a，ZAPB=卩，则是+丽=令ZPBx==，由椭圆第三定义可知：tana・tany=e2-1=-f4cos卩cos(y-a)cosycosa+sinysina1+tana•tany3——cos(2a+B)cos(y+a)cosycosa+sinysina1-tana•tany5证明：只需将椭圆中的b2全部换成-b2就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。解答：点评：其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点^。变式1-1：（石室中学2015级高二下4月18日周末作业）已知双曲线c：x2—y2=2015的左右顶点分别为A、B，P为双曲线右支一点，且ZPAB=4ZAPB，求ZPAB=解答：兀兀令ZpAB=aw0，2，ZPBA=^w0,2，则B=5a，由双曲线的第三定义知:乙2tana•tanB=tana•tan5a=e2一1=1则：1tana=—tan5a=tan一一5a12丿兀~兀na=一—5ana=——点评：连接MB,由椭圆的第三定义可知:与例题1采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为1即表示sina二cosB,cosa二sinB=两角互余^,则可解出a的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。三、与均值定理有关的问题例题2：已知A、B是椭圆a2+b|=1Gb0）长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于汀由对称的两点,直线AM、BN的斜率分别为件、k2,且k骨匕若即+|kJ的最小值为】，则椭圆的离心率为解答一（第三定义+均值）：由题意可作图如下：b2b2k•k=e2—1=—,（而k——k——/..kk=AMBMa2BMBN12a2ikJ-2护i卜ik2卜¥勻——a=2——e弓解答二（特殊值法）：这道题由于表达式（k|+|k|）—1非常对称，则可直接猜特殊点求解。|k|=|k|=!时可取最值,12min122连接MB,由椭圆的第三定义可知:k•k=e2一1=AMBM（而k—一k——/..kk=BMBN12a2辽|kJ+2问kJ>4护J•|k2|=4b=1——b=1——e=变式2-2：已知A、B是椭圆—+工—1(aba2b20)长轴的两个端点，若椭圆上存在Q,使ZAQB—#bi^3则M、N分别为短轴的两端点。此时：|k」=|^|=a=2=e=^2。点评：对于常规解法，合理利用M、N的对称关系是解题的关键，这样可以利用椭圆的第三定义将两者斜率的关系联系起来，既构造了“一正”又构造了“二定”利用均值定理“三相等”即可用a、b表示出最值1。当然将|k|qkj前的系数改为不相等的两个数，就不能利用特殊值法猜答案了，但常规解法相同，即变式2-1。变式2-1：已知A、B是椭圆—+苹=l(ab0)长轴的两个端点，M、N是椭圆上关于x轴对称的两a2b2点，直线AM、BN的斜率分别为k、k，且kk去0。若j2|k|+2j2Ik|的最小值为1，则椭圆的离心率121211121为.解答：则椭圆的离心率的取值范围为3+tanaja2tanaa2<2\（取等条件：tana=-，即Q为上顶点）a带入可得：而tanx在—;当椭圆趋于饱满（eT0）解答一（正切+均值）：令Q在x轴上方，则直线QA的倾斜角为以0,2，直线QB的倾斜角为PG壬,兀八一「兀]八"fa、tanP-tanaZAQBG—，兀，tanZAQB二tan（P—a丿二2」1+tanptana由椭圆的第三定义：tanatan卩=-，贝ytan卩=-—a2a2tanab2——tanatanp-tana=a2tana1+tanPtanab21——a2兀单增，则Q为上顶点时（"QB），所以此时ZAQB>£兀，故eGmax3解答二（极限法）：兀当Q趋近于A、B两点时，ZAQBT-（此时Q点所在的椭圆弧趋近于以AB为直径的圆的圆弧,兀ZAQB相当于直径所对的圆周角）；当Q在A、B间运动时ZAQB-（Q在以AB为直径的圆内部ZAQB直径所对的圆周角=90°）,由椭圆的对称性可猜测当Q为短轴端点时（ZAQB）。max由于：椭圆上存在Q，使ZAQB—，那...
