DCAOB2015年上海初三数学竞赛（大同中学杯）（2015年12月6日）解答本题可以使用科学计算器一填空题（每小题10分，共80分）1、已知AB为圆O的直径，AB=1，延长AB到点C，使得BC=1，CD是圆O的切线，D是切点，则ABD的面积为______________。解答：依据切割线定理可以得到：22CDCBCACD。因为可以得到BDCDCDCBDAADAC∽因此有2122BDAD。因为AB为圆O的直径，所以ABD时直角三角形。依据勾股定理有222221133ABBDADBDBD。而2122226ABDSBDADBD2、有编号分别为去1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球，从中任取3个小球，则取出的3个小球的编号和为奇数的概率为______________。解答：从七个小球任意取出三个小球的取法为3735C种，因为没有小球的数字不同，这样这三个球的数字和有35和结果。要使用和为奇数。应该包括两种下面情况第一种三个数均为奇数，也就是从1,3,5,7四个数中取三个，取法为344C第二种，一个奇数，两个偶数，也就是从1,3,5,7的四个数中取1个，从2,4,6三个数中取两个，取法有224312CC.这样和为奇数一共有41216种。从而取出的3个小球的编号和为奇数的概率为16353、实数,xy满足234xy，234yx，xy，则xyyx的值为____________。解答：因为223434xyyx①②上述①②两个相减，得到：()()3()0xyxyxy。因为xyBCO1O2PA所以有3xy。上述①②相加得到2223()4()23()4xyxyxyxyxy所以1xy。因此2()21xyxyxyyxxy4.若三个素数的乘积恰好等于它们和的23倍，则这三个素数为________．解答：设这三个素数为,,abc。则有23()abcabc。因为23是素数，从23()abcabc，可以得到23能够整除三个素数,,abc的abc积。从而可以得到其中有一个素数必为23。假设23a这样就有23124(1)(1)2446212bcbcbcbcbc因为,bc为素数，所以得到5,7bc或3,13bc这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。5.如图，圆1O与圆2O外切于点P，从圆1O上点A作圆2O的切线AB，B是切点，连接AP并延长，与圆2O交于点C．已知圆1O、圆2O的半径分别为2、1，则ACAB________．解答：做如图所示的辅助线。可以得到21211//2COPCAOCOPAAO为此设PCk，则2.PAk应用切割线定理有：2236.ABAPACkkABk所以3626ACkABk。6、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，MON的两边分别是射线yx(x与x轴正半轴．点A(6,5)，B(10,2)是MON内的两个定点，点P、Q分别是MON两边上的B'A'BAMNPQ动点，则四边形ABQP周长的最小值是________．解答：本题主要就是应用对称。应为四边形ABQP，其中一个边AB为定值。要求四边形ABQP周长的最小值，只要求另外三边的最小值。从对称可以得到/(5,6)A,/(10,2)B.四边形另外三边的最小值为//AB依据两点间距离公式有。//22(105)(26)89AB，22(105)(25)34AB从而最小值为8934。7.不定方程2222xyxyxy的整数(,y)x解共有________组。解答：设xyk，所以从2222xyxyxy，可以得到222kxyxyk所以222233kkkkxyxy。这样,yx是方程22203kktkt的两个根，并且根为整数。所以2222()40803kkkkk。因此有08k。同时要保证22(2)33kkkkxy为整数。这样就有0k，3，5，6，8当0k时，(,y)(0,0)x当3k时，方程为方程2310tt没有整数解。当5k时，方程为方程2550tt没有整数解。当6k时，方程为方程2680tt，有整数解为2,4。所以(,y)(2,4)x或(4,2)当8k时，方程为方程28160tt，有整数解为4,4。所以(,y)(4,4)x整数(,y)x解共有4组D'PDCBA8.设a是给定的正实数，n是给定的大于1的整数，实数123,,,,nxxxx满足2222123nxxxxa，则2222212131232()()()()()nnxxxxxxxxxx21()nnxx的最大值________________。解答：因为2222212131232()()()()()nnxxxxxxxxxx21()nnxx22212123234211(1)()2()2()2()2nnnnxnnnnxxxxxxxxxxxxxxxx123234211(1)2()2()2()2nnnxnnnnaxxxxxxxxxxxxx有这样的一个结论，因为222222222222()2xyxyxyxyxyxyxyxy而1232342112()2()2()2nnnxnnnxxxxxxxxxxxxx22222222222212131232422222222222223435321212222221212[()()()][()()()][()()()][()()]()](1)(1)(1)(1)(nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnxxxxxnxxx)(1)na所以最大值为2(1)na二、解答题（第9、10题，每题15分，第11、12题，每题20分，共70分）9.如图，在△ABC中，BCa，CAb，ACB，△ABD是正三角形，P是其中心，求CP的长度．解答：分析作D点关于AB的...
