实用标准精彩文档阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。性质1阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。性质2阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为。性质3抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。性质4若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。性质5底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。性质6若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。性质7在阿基米德三角形中，∠QFA=∠QFB。性质8在抛物线上任取一点I（不与A、B重合），过I作抛物线切线交QA、QB于S、T，则△QST的垂心在上。性质9|AF|·|BF|=|QF|2.性质10QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB。性质11在性质8中，连接AI、BI，则△ABI的面积是△QST面积的倍。实用标准精彩文档高考题中的阿基米德三角形例1（2005江西卷，理22题）如图，设抛物线2:Cyx=的焦点为F，动点P在直线:20lxy--=上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.解：（1）设切点A、B坐标分别为2201110(,)(,)(()xxxxxx1和，∴切线AP的方程为：20020;xxyx--=切线BP的方程为：21120;xxyx--=解得P点的坐标为：0101,2PPxxxyxx+==所以△APB的重心G的坐标为，222201010101014(),3333PpPGxyyyyxxxxxxxxy-+++++-====所以234pGGyyx=-+，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：221(34)20,(42).3xyxyxx--+-==-+即（2）方法1：因为2201000111111(,),(,),(,).4244xxFAxxFPxxFBxx+=-=-=-uuuruuuruuur由于P点在抛物线外，则||0.FP1uuur∴20100100122200111()()2444cos,1||||||||()4xxxxxxxxFPFAAFPFPFAFPFPxx+?--+×?==+-uuuruuuruuuruuuruuuruuur同理有20110110122211111()()2444cos,1||||||||()4xxxxxxxxFPFBBFPFPFBFPFPxx+?--+×?==+-uuuruuuruuuruuuruuuruuur∴∠AFP=∠PFB.方法2：①当1010000,,0,0,xxxxxy=?=时由于不妨设则所以P点坐标为1(,0)2x，则P点到直xyOABPFl实用标准精彩文档线AF的距离为：211111||14;:,24xxdBFyxx-=-=而直线的方程即211111()0.44xxxyx--+=所以P点到直线BF的距离为：2211111122222111||11|()|()||42442121()()44xxxxxxdxxx-++===+-+所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.②当100xx1时，直线AF的方程：202000011114(0),()0,4044xyxxxxyxx--=---+=-即直线BF的方程：212111111114(0),()0,4044xyxxxxyxx--=---+=-即所以P点到直线AF的距离为：2220101001000112222000111|()()||)()||42424121()44xxxxxxxxxxxdxxx+---++-===+-+，同理可得到P点到直线BF的距离102||2xxd-=，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB例2(2006全国卷Ⅱ，理21题)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF→＝λFB→（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明FM→·AB→为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF→＝λFB→，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，－x1＝λx2①1－y1＝λ(y2－1)②实用标准精彩文档将①式两边平方并把y1＝14x12，y2＝14x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝1λ，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，抛物线方程为y＝14x2，求导得y′＝12x．所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝12x1(x－x1)＋y1，y＝12x2(x－x2)＋y2，即y＝12x1x－14x12，y＝12x2x－14x22．解出两条切线的交点M的坐标为(x1＋x22，x1x24)＝(x1＋x22，－1)．⋯⋯4分所以FM→·AB→＝(x1＋x22，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝12(x22－x12)－2(14x22－14x12)＝0所以FM→·AB→为定值，其值为0．⋯⋯7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝12|AB||FM|．|FM|＝(x...
