第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．(山东实验中学)“命题若a2+b2=0，a，b∈R，则a=b=0”的逆否命题是()A．若ab0，a，b∈R，则a2+b2=0B．若a=b0，a，b∈R，则a2+b20C．若a0且b0，a，b∈R，则a2+b20D．若a0或b0，a，b∈R，则a2+b20解析：若p则q的逆否命题为若綈q则綈p，又a=b=0实质为a=0且b=0，故其否定为a0或b0.答案：D2．(济南模拟)“x>1”“是x2>x”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x>1，两边同乘以x，得x2>x；而当x=-1时亦有x2>x.答案：A3．(天津模拟)a<0是方程ax2+1=0有一个负数根的()A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a<0时，方程ax2+1=0的根为x=，由于－<0，故方程ax2+1=0有一个负数根．又当方程ax2+1=0有一个负数根时，显然a<0，所以a<0是方程ax2-1=0有一个负数根的充分必要条件．答案：B4．用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是()A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c中至多有一个是偶数D．假设a、b、c中至多有两个是偶数“”“”解析：至少一个的否定是都不是．答案：B二、填空题5．有三个命题：(1)“若x+y=0，则x，y”互为相反数的逆命题；(2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；(3)“若x≤-3，则x2+x-6>0”的否命题．其中真命题的个数为________．解析：(1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假．答案：16．(原创题)已知p(x)：x2+2x-m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．解析：p(1)：3-m>0，即m<3，p(2)：8-m>0，即m<8，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则3≤m<8.答案：3≤m<87．(辽宁鞍山模拟)已知：A=，B={x|-1
2.答案：m>2三、解答题8．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)若q<1，则方程x2+2x+q=0有实根；(2)若ab=0，则a=0或b=0.解：(1)逆命题：若方程x2+2x+q=0有实根，则q<1，假命题．否命题：若q≥1，则方程x2+2x+q=0无实根，假命题．逆否命题：若方程x2+2x+q=0无实根，则q≥1，真命题．(2)逆命题：若a=0或b=0，则ab=0，真命题．否命题：若ab0，则a0且b0，真命题．逆否命题：若a0且b0，则ab0，真命题．9．(江苏苏州调研)已知p：；q：{x|1-m≤x≤1+m，m>0}．若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：解法一：p即{x|-2≤x≤10}，所以綈p：A={x|x<-2，或x>10}，綈q：B={x|x<1-m，或x>1+m，m>0}．因为綈p是綈q的必要不充分条件，所以綈q⇒綈p，綈p綈q，所以B⊂A，画数轴分析知，B⊂A的充要条件是，或解得m≥9，即m的取值范围是{m|m≥9}．解法二：因为綈p是綈q的必要不充分条件，即綈q⇒綈p，且綈p綈q，所以p⇒q，且qp，所以p是q的充分不必要条件．而p：P={x|-2≤x≤10}．q：Q={x|1-m≤x≤1+m，m>0}．所以P⊂Q，即得，或.解得m≥9.所以m的取值范围是{m|m≥9}．10．求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件．解：(1)a=0适合．(2)a0时，显然方程没有零根．若方程有两异号实根，则a<0；若方程有两个负的实根，则必须有，解得0
