第4课时简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词一、填空题1．(南通调研考试)命题“∃x∈R，sinx≤1”的否定是________．答案：∀x∈R，sinx＞12．命题p：a2＋b2＜0(a，b∈R)，q：a2＋b2≥0(a，b∈R)．下列结论正确的是________．①“p或q”为真②“p且q”为真③“綈p”为假④“綈q”为真答案：①3．下列4个命题：p1：∃x∈(0，＋∞)，x＜x；p2：∃x∈(0,1)，＞；p3：∀x∈(0，＋∞)，x>；p4：∀x∈，x＜.其中的真命题是________．答案：p2，p44．(·江苏盐城中学高三月考)命题p；存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”是________．答案：对于任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0都没有实根5．(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查)命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得对任意的x∈R,2x2－3ax＋9≥0恒成立，则Δ≤0，即(－3a)2－4×2×9≤0，解得a∈[－2，2]．答案：[－2，2]6．(盐城市调研考试)现有下列命题：①命题“∃x∈R，x2＋x＋1＝0”的否定是“∃x∈R，x2＋x＋1≠0”；②若A＝{x|x＞0}，B＝{x|x≤－1}，则A∩(∁RB)＝A；③函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)是偶函数的充要条件是φ＝kπ＋(k∈Z)；④若非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则b与(a－b)的夹角为60°.其中正确命题的序号有________．(写出所有你认为正确命题的序号)解析：易知②、③正确；①不正确，命题“∃x∈R，x2＋x＋1＝0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≠0”；④不正确，b与(a－b)的夹角应为120°.答案：②③7．(经典题)设P是一个数集，且至少含有两个元素，若对任意a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域，有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题的序号都填上)解析：对于数域P，取a＝b≠0，且a，b∈P，则a－b＝0∈P，＝1∈P，故①正确；又a＋a＝2a，a＋2a＝3a，…，均是P中元素，故P有无数个元素．④正确；对于整数集Z,a＝1，b＝2时，＝∉Z，故整数集不是数域，②错；对于满足Q⊆M的集合M＝Q∪{},1＋∉M，M不是数域，③错．答案：①④二、解答题8．已知条件p：x2－x≥6；q：x∈Z.求x的取值组成的集合M，使得当x∈M时，“p∧q”与“綈q”同时为假命题(“p∧q”表示“p且q”)．解：当x∈M时，“p∧q”与“綈q”同时为假命题，即x∈M时，p假q真．由x2－x＜6，x∈Z，解得x＝－1,0,1,2，∴所求集合M＝{－1,0,1,2}．9．已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若p，q都是假命题，求a的取值范围．解：由a2x2＋ax－2＝0，知a≠0，解此方程得x1＝，x2＝－. 方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解，∴≤1或≤1，∴|a|≥1.只有一个实数满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，表明抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个公共点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.∴命题p为假，则－1＜a＜1；命题q为假，则a≠0且a≠2.∴若p，q都是假命题，则a的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．10．(·北京宣武区高三期中)已知p：x∈R，f(x)＝|x－2|＋|x|＞m恒成立；q：f(x)＝log(5m－2)x在(0，＋∞)上为单调增函数．当p，q有且仅有一个为真命题时，求m的取值范围．解： f(x)＝|x－2|＋|x|＞m，则f(x)＝∴f(x)min＝2.又 p：x∈R，f(x)＝|x－2|＋|x|＞m恒成立，∴m＜2. q：f(x)＝log(5m－2)x在(0，＋∞)上为单调增函数，∴5m－2＞1，即m＞.∴当p是真命题时，有m＜2，当q是真命题时，有m＞. p，q有且仅有一个为真命题，∴m≤或m≥2.1．(泰安)设命题p：关于x的不等式|x|＋|x＋1|＞a的解集为R；命题q：函数f(x)＝－(7－3a)x在R上是减函数．如果这两个命题中有且仅有一个是真命题，则a的取值范围是________．解析：若命题p为真，则由|x|＋|x＋1|≥|x－(x＋1)|＝1，得a＜1；若命题q为真，则7－3a＞1，a＜2.又 p，q中有且仅有一个为真，故a的取值范围是1≤a＜2.答案：1≤a＜22．已知c＞0，设p：函数y＝cx在R上递减；q：不等式x＋|x－2c|＞1的解集为R，如果“p∨q”为真，且“p∧q”...
