直角三角形、勾股定理及逆定理一、选择题1.（山东东营，9，3分）在△ABC中，AB=10，AC=210，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（）A．10B．8C．6或10D．8或10【答案】C【逐步提示】本题考查勾股定理，分类讨论思想．根据题意画出相应的图形，然后利用勾股定理分别求出BC的长．【详细解答】解：如图①所示，在Rt△ABD中，BD=22221068ABAD，在Rt△ACD中，CD=2222(210)62ACAD，∴BC=BD+CD=8+2=10．如图②所示，同理求出BD=8，CD=2，∴BC=BD－CD=8－2=6．故选C．【解后反思】解答本题易出现漏解的错误，即只考虑高在三角形内部的情况，而忽视高在外部的情况，而造成漏解．【关键词】勾股定理；分类讨论思想2.（山东潍坊，7，3分）木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿射线OM方向滑动，下列各图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）【答案】D【逐步提示】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握能够观察到图中的OP是斜边AB上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OP的长度始终保持不变，然后结合图形可选出答案．【详细解答】解：连接OP， △AOB为直角三角形，∴12OPAB．故点P下落路线为以O为圆心，OP为半径的一段圆弧，故选择D.【解后反思】本题在解答时需掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，从而OP的长度不变，本题是来源于青岛版八下课本.【关键词】直角三角形；14.3.（山东省烟台市，14，3分）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应-3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为.【答案】7【逐步提示】利用等腰△ABC三线合一定理判断出ABOC，然后利用勾股定理即可求出OM的长，则点M对应的实数即可求出.【详细解答】解： A，B两点分别对应-3，3，即OA=OB，又 △ABC为等腰三角形，∴ABOC,∴OM=OC=2234=7，故答案为7.【解后反思】1.本题考查数轴与点一一对应关系，需要借助数轴和勾股定理判断出字母对应的数值.2.在数轴上，数轴形象地反应了数与点之间的关系，数轴上的点与实数之间是一一对应的，借助于数与形的相互转化来解决数学问题，数轴具有如下作用：（1）利用数轴可以用点直观地表示数.（2）利用数轴可以比较数的大小.（3）利用数轴可以解决绝对值问题.【关键词】等腰三角形；勾股定理；数轴；数形结合思想；4.5.(浙江杭州，9，3分)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m＜n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形．若这两个三角形都是等腰三角形，则()A．m2＋2mn＋n2＝0B．m2－2mn＋n2＝0C．m2＋2mn－n2＝0D．m2－2mn－n2＝0【答案】C．【逐步提示】本题考查了直角三角形从一个顶点出发的一条射线将原三角形分成两个等腰三角形条件下的两条直角边的数量关系，解题的关键是画出符合题意的图形后，利用数形结合思想将两条直角边m、n及其代数式表示直角三角形的三边后用勾股定理建立等量关系．在解题时，首先画出符合题意的图形，利用斜边的垂直平分线与较长直角边的交点，得到一个等腰直角三角形后就产生了两个等腰三角形；再将等腰直角三角形的斜边用n－m表示；最后由勾股定理，得到m、n的等量关系，化简后即可选择正确答案．【解析】如下图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝m，BC＝n，过点A的射线AD交BC于点D，且将△ABC分成两个等腰三角形：△ACD和△ADB，则AC＝CD＝m，AD＝DB＝n－m．在Rt△ACD中，由勾股定理，得m2＋m2＝(n－m)2，2m2＝m2－2mn＋n2，从而m2＋2mn－n2＝0，故选择C．n－mn－mmmDBCA【解后反思】解答本题的关键在于将题意用图形语言表示出来，所以说几何画图是学习好数学的基本功之一．在本题中，两个等三角形一定有一个是等腰直角三角形，另一个等腰三角形也一定是顶角为135°(45°的邻补角)的等腰三角形，此时利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等来画原三角形斜边的中垂线即可．在解决了画图关后，如何用m、n的代数式表示等腰直角三角形的斜边就容易得多了，最后利用勾股定理不难探索出m、n的等量关系．综上所述，对于数学的学习，尤其是几何题，将文字语言、符号语言、图形语言三者之间的相...
