第四知识块平面向量第1课时向量的概念及表示、向量的线性运算一、填空题1．在四边形ABCD中，若AB＝－CD，则四边形是________．解析：由AB＝－CD，可知AB∥CD，但|AB|≠|CD|，故ABCD为梯形．答案：梯形2．(·广东高明一中模拟)设a，b是两个不共线向量，若8a－kb与－ka＋b共线，则实数k的值为________．解析：∵8a－kb与－ka＋b共线，∴8a－kb＝λ(－ka＋b)．∴∴k＝±2.答案：±23．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]＝________.解析：[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(24b－12a)＝2b－a.答案：2b－a4．已知|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．解析：∵a＝λb，∴a与b共线，|a|＝|λ||b|.又∵|a|＝3，|b|＝5，∴3＝5|λ|，λ＝±.答案：±5．化简以下各式：(1)AB＋BC＋CA；(2)AB－AC＋BD－CD；(3)OA－OD＋AD；(4)NQ＋QP＋MN－MP.结果为零向量的个数是________．解析：(1)AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0.(2)AB－AC＋BD－CD＝AB＋BD－(AC＋CD)＝AD－AD＝0.(3)OA－OD＋AD＝OA＋AD－OD＝OD－OD＝0.(4)NQ＋QP＋MN－MP＝MN＋NQ＋QP－MP＝MP－MP＝0.∴结果为零向量的个数是4.答案：46．(南京模拟)设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2，与b＝e1＋λe2(λ∈R)共线的充要条件是λ＝________.解析：设a＝μb，∴2e1－e2＝μ(e1＋λe2)．∵e1与e2不共线，∴∴λ＝－.答案：－7．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，则|a－b|＝________.解析：设AB=a，AD=b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，如图，则AC=a+b，DB=a-b，∵|a+b|=|a-b|，∴|AC|=|DB|.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB.在Rt△DAB中，|AB|=6，|AD|=8，由勾股定理，得|DB|==10，∴|a+b|=|a-b|=10.答案：10二、解答题8.如图，ABCD为一个四边形，E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．证明：∵F，G分别为AB，AC的中点，∴FG=BC，同理，EH=BC，∴FG=EH，同理，EF=HG.∴四边形EFGH为平行四边形．9．已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：EF＝(AB＋DC)．证明：证法一：如图，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴EA+ED=0，FB＋FC＝0，又∵AB＋BF＋FE＋EA＝0，∴EF＝AB＋BF＋EA①同理EF＝ED＋EA＋CF②由①＋②得，2EF＝AB＋DC＋(EA+ED)＋(BF＋CF)＝AB＋DC.∴EF＝(AB＋DC)．证法二：连结EB，EC，则EC=ED+DC，EB=EA+AB，∴EF=(EC+EB)=(ED+DC+EA+AB)=(AB＋DC)．10．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？解：设OA＝a，OB＝tb，OC＝(a＋b)，∴AC＝OC－OA＝－a＋b，AB＝OB－OA＝tb－a.要使A、B、C三点共线，只需AC＝λAB，即－a＋b＝λtb－λa，∴有⇒∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．1．在△ABC中，已知D是边AB上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝________.解析：如图所示，可知，CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，∴λ＝.答案：2．△ABC所在平面有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB.试确定P点的位置．解：∵PA＋PB＋PC＝AB，∴PA＋PC＝AB－PB，即PA＋PC＝AB＋BP＝AP.∴PC＝－2PA.∴PC∥PA.又PC、PA共点于P，∴A、P、C三点共线．∴P点为边AC中靠近A点的三等分点．
