二项式定理学案3人教A版选修3VIP专享VIP免费

二项式定理学习目标：1理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力学习重点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用学习难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．二项式定理及其特例：（1）01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，（2）1(1)1nrrnnnxCxCxx.2．二项展开式的通项公式：1rnrrrnTCab3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课：1二项式系数表（杨辉三角）()nab展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3⋯时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：()nab展开式的二项式系数是0nC，1nC，2nC，⋯，nnC．rnC可以看成以r为自变量的函数()fr定义域是{0,1,2,,}n，例当6n时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵mnmnnCC）．直线2nr是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kknnnnnnknkCCkk，∴knC相对于1knC的增减情况由1nkk决定，1112nknkk，当12nk时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n是偶数时，中间一项2nnC取得最大值；当n是奇数时，中间两项12nnC，12nnC取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1nrrnnnxCxCxx，令1x，则0122nrnnnnnnCCCCC三、讲解范例：例1．在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN中，令1,1ab，则0123(11)(1)nnnnnnnnCCCCC，即02130()()nnnnCCCC，∴0213nnnnCCCC，即在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312nnnnnCCCC.例2．已知7270127(12)xaaxaxax，求：（1）127aaa；（2）1357aaaa；（3）017||||||aaa.解：（1）当1x时，77(12)(12)1x，展开式右边为∴0127aaaa1，当0x时，01a，∴127112aaa，（2）令1x，0127aaaa1①令1x，7012345673aaaaaaaa②①②得：713572()13aaaa，∴1357aaaa7132.（3）由展开式知：1357,,,aaaa均为负，0248,,,aaaa均为正，∴由（2）中①+②得：702462()13aaaa，∴70246132aaaa，∴017||||||aaa01234567aaaaaaaa例3.求(1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)10展开式中x3的系数解：)x1(1])x1(1)[x1(x1)x1()x1(10102）（=xxx)1()1(11，∴原式中3x实为这分子中的4x，则所求系数为711C例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数解：∵5552)2x()1x()2x3x(∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为x5C15，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为x80x2C415∴展开式中含x的项为x240)32(x5)x80(1，∴此展开式中x的系数为240例5.已知n2)x2x(的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n4n2n4nC14C33:14C:C∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10设第r+1项为常数项，又2r510r10rr2r10r101rxC)2()x2()x(CT令2r02r510，.180)2(CT221012此所求常数项为180四、课堂练习：（1）2025xy的展开式中二项式系数的和为，各项系数的和为，二项式系数最大的项为第项；（2）1()nxx的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为．（3）0nC+12nC+24nC+2nnnC729，则123nnnnnCCCC（）A．63B.64C.31D.32（4）已知：5025001250(23)xaaxaxax，求：2202501349()()aaaaaa的值答案：（1）202，203，11；（2）展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴10n，3734101()()120TCxxx；（3）A．五、小结：1．性质1是组合数公式rnrnnCC的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)CCC，展开式中第三项为2260.0020.00006C，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998CC，一般地当a较小时(1)1nana