第3课时向量的数量积、向量的应用一、填空题1．(·栟茶中学学情分析)设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c且a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2＝________.答案：42．(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知a、b均为非零向量，p：a·b>0，q：a与b的夹角为锐角，则p是q成立的________条件．(填充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)解析：当a·b>0时，a、b可为同向，所以p不能推出q，但q可以推出p，因此p是q成立的必要不充分条件．答案：必要不充分3．(盐城市高三调研考试)已知O，A，B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若|\s\up7(―→)|＝7，|\s\up7(―→)|＝5，则\s\up7(―→)·(\s\up7(―→)－\s\up7(―→))的值为________．解析：设线段AB的中点为M，连接OM，∴\s\up7(―→)·\s\up7(―→)＝0.∴\s\up7(―→)·(\s\up7(―→)－\s\up7(―→))＝(\s\up7(―→)＋\s\up7(―→))·(\s\up7(―→)－\s\up7(―→))＝\s\up7(―→)·(\s\up7(―→)－\s\up7(―→))＋\s\up7(―→)·\s\up7(―→)＝(\s\up7(―→)＋\s\up7(―→))·(\s\up7(―→)－\s\up7(―→))＝(\s\up7(―→)2－\s\up7(―→)2)＝(49－25)＝12.答案：124．(江苏省高考命题研究专家原创卷)如上图，非零向量\s\up7(―→)，\s\up7(―→)与x轴正半轴的夹角分别为和，且\s\up7(―→)＋\s\up7(―→)＋\s\up7(―→)＝0，则\s\up7(―→)与x轴正半轴的夹角的取值范围是________．解析： \s\up7(―→)＋\s\up7(―→)＋\s\up7(―→)＝0，∴\s\up7(―→)＝－\s\up7(―→)－\s\up7(―→)，∴\s\up7(―→)与x轴正半轴的夹角的取值范围应在向量－\s\up7(―→)，－\s\up7(―→)与x轴正半轴的夹角之间，故\s\up7(―→)与x轴正半轴的夹角的取值范围是.答案：5．(苏北四市高三第三次联考)已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，|c|＝2，则|a|＝________.解析：根据题意，设平面向量a，b，c的模分别为x，y，z，由a＋b＋c＝0得a＋c＝－b，则a·b＋c·b＝－b·b，又a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，所以xy＋yz＝y2，而z＝2，故x＋1＝y，①再由a＋b＋c＝0得a＋b＝－c，两边平方得x2＋y2＋2xycos135°＝4，将①式代入得x＝.答案：6．(苏北四市联考)如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，D，E为BC边上的点，且=.解析： ，又AB=AC，∴，==2，∠BAC=120°，∴答案：17．(扬州市高三期末调研考试)等边三角形ABC中，P在线段AB上，且\s\up7(―→)＝λ\s\up7(―→)，若\s\up7(―→)·\s\up7(―→)＝\s\up7(―→)·\s\up7(―→)，则实数λ的值是________．解析：由题意不妨设等边三角形ABC的边长为1，如图(0<λ<1)，由得即，∴2λ2-4λ+1=0，(0<λ<1)，解得：λ=答案：二、解答题8．(·栟茶中学高三学情分析)已知向量a＝(cosα，1＋sinα)，b＝(1＋cosα，sinα)，(1)若|a＋b|＝，求sin2α的值；(2)设c＝(－cosα，－2)，求(a＋c)·b的取值范围．解：(1)因a＋b＝(1＋2cosα，1＋2sinα)，|a＋b|＝＝＝，∴sinα＋cosα＝－，两边平方得1＋2sinαcosα＝，∴sin2α＝－.(2)因a＋c＝(0，－1＋sinα)，∴(a＋c)·b＝sin2α－sinα＝2－，又sinα∈[－1,1]，∴(a＋c)·b的取值范围为.9．(江苏省高考命题研究专家原创卷)已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是△ABC的重心，且56sinA·\s\up7(―→)＋40sinB·\s\up7(―→)＋35sinC·\s\up7(―→)＝0.(1)求角B的大小；(2)设m＝(sinA，cos2A)，n＝(4k,1)(k>1)，m·n的最大值为5，求实数k的值．解：(1)由G是△ABC的重心，得\s\up7(―→)＋\s\up7(―→)＋\s\up7(―→)＝0，∴\s\up7(―→)＝－(\s\up7(―→)＋\s\up7(―→))，由正弦定理，可将已知等式转化为56a·\s\up7(―→)＋40b·\s\up7(―→)＋35c·(－－\s\up7(―→))＝0，整理，得：(56a－35c)·\s\up7(―→)＋(40b－35c)·\s\up7(―→)＝0. \s\up7(―→)，\s\up7(―→)不共线，∴由此，得a∶b∶c＝5∶7∶8.不妨设a＝5，b＝7，c＝8，由余弦定理，得cosB＝＝＝. 0
